Nell’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali le uniche operazioni interne sono l’addizione \( ( + ) \) e la moltiplicazione \( ( \cdot )\); con l’estensione di \( \mathbb{N} \) a \( \mathbb{Z} \) diventa interna anche l’operazione di sottrazione \( ( – ) \). Infine, con l’estensione di \( \mathbb{Z} \) a \( \mathbb{Q} \) diventa interna anche l’operazione di divisione \( ( : ) \), se si esclude il caso della divisione per \( 0 \). Oltre ai numeri razionali, però, esistono anche altri numeri, e oltre alle quattro operazioni fondamentali, addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, ne esistono anche altre. Nell’insieme \( \mathbb{R} \) compariranno “nuovi” numeri, i cosiddetti numeri irrazionali, e sarà possibile svolgere sempre anche altre operazioni.
L’insieme I dei numeri irrazionali
Definizione Si definisce numero irrazionale un qualsiasi numero che non è razionale, ovvero che non può essere scritto come rapporto di due numeri interi.
Esempi Sono esempi di numeri irrazionali numeri come \( \sqrt{2} \) e \( \pi \).
Approfondimento Come i numeri razionali, anche i numeri irrazionali sono infiniti. Inoltre, sebbene possa sembrare strano, ci sono molti più numeri irrazionali che numeri razionali. Per approfondire questo, si può consultare il seguente
http://www.rudimathematici.com/bookshelf/pdf/Infinito%20(Zar).pdf
Tutti i numeri razionali si possono “raccogliere” in un insieme, l’insieme[Equazione] dei numeri irrazionali:
\[ I = \{x | x \text{ è irrazionale}\} \]
Osservazione Nessun numero razionale può essere irrazionale, e nessun numero irrazionale può essere razionale; di conseguenza, l’insieme \( \mathbb{I} \) dei numeri irrazionali e l’insieme dei numeri razionali sono disgiunti, ovvero
\[ I \cap Q = \varnothing \]
L’insieme R dei numeri reali
Definizione Si definisce numero reale un qualsiasi numero che è o razionale o irrazionale.
Tutti i numeri razionali e irrazionali si possono raccogliere in un insieme, l’insieme \( \mathbb{R} \) dei numeri reali:
\[ \mathbb{R} = \{x | x \text{ è razionale oppure } x \text{ è irrazionale}\} \]
Osservazione Tutti i numeri irrazionali sono numeri reali, di conseguenza l’insieme \(\mathbb{I} \) è un sottoinsieme di \( \mathbb{R} \)
\[ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} \]
Tutti i numeri razionali sono numeri reali, di conseguenza l’insieme \(\mathbb{Q} \) è un sottoinsieme di \( \mathbb{R} \), e di conseguenza lo sono anche \( \mathbb{N} \) e \( \mathbb{Z} \)
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
Osservazione Tutti i numeri reali sono o razionali o irrazionali, di conseguenza si ha che
\[ \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R} \]
Osservazione Gli insiemi \(\mathbb{Q} \) e \(\mathbb{I} \) dei numeri razionali e dei numeri irrazionali possiedono le seguenti proprietà:
- \( \mathbb{Q} \ne \varnothing \text{ e } \mathbb{I} \ne \varnothing \)
- \( \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \varnothing \)
- \( \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R} \)
Di conseguenza si può affermare che la coppia \( \{ \mathbb{Q}, \mathbb{I}\} \) costituisce una partizione di \( \mathbb{R} \)
Osservazione Poiché \( \mathbb{R} \) ha almeno un sottoinsieme infinito, anche \( \mathbb{R} \) è infinito
L’insieme R è un insieme ordinato
L’insieme \( \mathbb{R} \) dei numeri reali è ordinato, vale a dire, presi due numeri reali qualsiasi[Equazione] vale una delle seguenti:
\[ a \lt b \]
\[ a = b \]
\[ a \gt b \]
Le quattro operazioni nell’insieme dei numeri reali
Così come \(\mathbb{Q} \), anche \(\mathbb{R}\) è chiuso rispetto all’addizione, alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla divisione (se si esclude, come sempre, il caso della divisione per 0).
Queste operazioni si definiscono esattamente come in \(\mathbb{Q}\), hanno la stessa terminologia, …
La retta reale
Presi tutti i numeri reali è possibile associare ogni numero reale un punto di una retta, e viceversa, che prende il nome di numero reale. Infatti, come i numeri reali, anche i punti su una retta sono ordinati, infiniti.
Cosa c’è di nuovo in \(\mathbb{R}\)?
Tutte le proprietà che valevano in \(\mathbb{Q} \) per i numeri razionali valgono anche in \(\mathbb{R} \) per i numeri reali. Cosa realmente distingue i numeri reali dai razionali? Perché non si poteva, ad esempio associare a ogni numero razionale un punto della retta, e viceversa?
Con l’insieme dei numeri naturali si ottiene, fissata un’unità
Con i numeri naturali dunque è possibile associare a ogni numero naturale un punto della retta, ma non si può fare il contrario. Ad esempio, che numeri si associano ai punti che stanno fra 0 e 1? E ai punti a sinistra dello 0?
Una parziale risposta alla seconda domanda si ottiene introducendo i numeri interi. Con l’insieme dei numeri interi si ottiene, fissata un’unità
Con i numeri interi dunque è possibile associare a ogni numero naturale un punto della retta, ma non si può fare il contrario. Ad esempio, che numeri si associano ai punti che stanno fra 0 e 1, o fra -3 e -4?
Una parziale risposta a questa domanda si ottiene introducendo i numeri razionali, con i quali è possibile iniziare a “riempire” i buchi lasciati dai numeri naturali prima e dai numeri interi poi. Tuttavia, esistono ancora dei punti che non sono associati a nessun numero razionale.
Approfondimento Per gli insiemi \( \mathbb{N} \) e \( \mathbb{Z} \) ha senso parlare, per ogni suo elemento, di un successivo.
Definizione Se \( n \) è un numero naturale, si definisce suo successivo il numero naturale \( m \) più piccolo tale che \( m \gt n \). Tale numero si indica con \( m = n + 1 \)
Definizione Se \( n \) è un numero intero, si definisce suo successivo il numero intero \( m \) più piccolo tale che \( m \gt n \). Tale numero si indica con \( m = n + 1 \)
A partire dall’insieme \( \mathbb{Q} \), non ha più senso parlare di successivi. Infatti, se[Equazione] è un numero razionale, se esistesse un suo successivo[Equazione] non dovrebbe esistere nessun altro numero razionale compreso fra[Equazione] ed esso. Ma il numero
\[ \frac{p + q}{2} \]
è compreso fra di essi ed è razionale, e dunque non si può parlare di successivo.
Insiemi come \( \mathbb{N} \) e \( \mathbb{Z} \) si dicono discreti, e insiemi come \( \mathbb{Q} \), e poi \( \mathbb{R}\) si dicono densi. La particolarità di questi ultimi insiemi è che presi due qualunque loro elementi, ne esiste sempre un altro compreso fra di essi.
Anche la retta è un insieme denso di punti, perché fra due punti è sempre possibile trovarne un altro (ad esempio il punto medio del segmento che formano). È anche per questo che gli insiemi \( \mathbb{N} \) e \( \mathbb{Z} \) non vanno bene per “completare” la retta reale, ma essere densi non basta, perché non va bene neanche \( \mathbb{Q} \).
Per completare la retta reale bisogna associare anche ai numeri irrazionali un punto sulla retta. Per esempio, a quale punto corrisponde il numero \( \sqrt{2} \)?
Approfondimento Se si considera un quadrato di lato \( 1 \), quanto vale la sua diagonale?
Se si traccia la diagonale si ottengono due triangoli rettangoli isosceli, i cui lati sono due lati del quadrato e la sua diagonale.
Per i triangoli rettangoli vale il teorema di Pitagora:
Preso un triangolo rettangolo \( ABC \), i cui cateti sono \( AB, BC \) e l’ipotenusa è \( AC \), allora
\[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \]
I cateti dei triangoli rettangoli ottenuti tracciando la diagonale valgono 1, dunque l’ipotenusa è tale che il suo quadrato vale \( 2 \).
\[ 1^2 + 1^2 = 2 = AC^2 \]
La domanda è: esiste un numero razionale il cui quadrato è \( 2 \)? Se ci fosse, lo si potrebbe chiamare \( \frac{a}{b} \), e si potrebbe supporre che tale frazione sia ridotta ai minimi termini, ovvero che \( a \) e \( b \) non abbiano fattori in comune. Ma allora dovrebbe valere
\[ \Big(\frac{a}{b}\Big)^2 = 2 \rightarrow \frac{a^2}{b^2} = 2 \rightarrow a^2 = 2b^2 \]
Dal precedente fatto si scopre che \( a^2 \) è pari, e dunque lo è anche \( a \), e dunque è possibile scrivere \( a \) nel seguente modo, per qualche numero naturale \( c \)
\[ a = 2c \]
Ma allora
\[ (2c)^2 = 2b^2 \rightarrow 4c^2 = 2b^2 \rightarrow b^2 = 2c^2 \]
Dal precedente fatto si scopre che \( b^2 \) è pari, e dunque lo è anche \( b \), dunque è possibile scrivere \( b \) nel seguente modo, per qualche numero naturale \( d \)
\[ b = 2d \]
Ma poiché si era supposto che \( a \) e \( b \) non avessero fattori in comune, e si è ottenuto che hanno in comune il fattore \( 2 \), si conclude che si è ottenuto un assurdo e dunque non esiste un numero razionale il cui quadrato sia \( 2 \). Tale numero sarà allora irrazionale, e lo si indica con il simbolo \(\sqrt{2} \).
Se si immagina di fare la seguente costruzione:
Si individua un particolare punto sulla retta reale. Il raggio della circonferenza è proprio il numero \( \sqrt{2} \), dunque si associa a quel punto proprio quest’ultimo numero. Se ci si fosse fermati all’insieme \( \mathbb{Q} \) dei numeri razionale a tale punto non sarebbe stato associato nessun numero, mentre con l’insieme[Equazione] anche punti come il precedente hanno un loro corrispondente.
Approfondimento
Videolezione sui numeri reali
