Il gradiente di una funzione, indicato con il simbolo
[math]nabla[/math]
, è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.
La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile
[math]x[/math]
, mentre si considera [math]y[/math]
come costante:
[math] \frac{df}{dx} (x,y) = \frac{d}{dx} \log(1 + e^{xy}) = \frac{1}{1 + e^{xy}} \cdot e^{xy} \cdot y = \frac{ye^{xy}}{1 + e^{xy}} [/math]
Procediamo in modo analogo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad
[math]y[/math]
:
[math] \frac{df}{dy} (x,y) = \frac{d}{dy} \log(1 + e^{xy}) = \frac{1}{1 + e^{xy}} \cdot e^{xy} \cdot x = \frac{xe^{xy}}{1 + e^{xy}} [/math]
Quindi, il gradiente della funzione
[math]f[/math]
sarà dato dalla seguente espressione:
[math] \nabla f(x,y) = ( \frac{ye^{xy}}{1 + e^{xy}} , \frac{xe^{xy}}{1 + e^{xy}} ) [/math]
Per calcolare il valore del gradiente in un preciso punto, basterà sostituire le coordinate del punto alla formula del gradiente:
[math] \nabla f(2,-1) = ( \frac{-e^{-2}}{1 + e^{-2}} , \frac{2e^{-2}}{1 + e^{-2}} ) [/math]
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