Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili nel punto $( 2, -1 )$: $ f(x,y) = log(1 + e^(xy)) $

Il gradiente di una funzione, indicato con il simbolo $nabla$, è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) log(1 + e^(xy)) = frac(1)(1 + e^(xy)) * e^(xy) * y = frac(ye^(xy))(1 + e^(xy)) $

Procediamo in modo analogo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) log(1 + e^(xy)) = frac(1)(1 + e^(xy)) * e^(xy) * x = frac(xe^(xy))(1 + e^(xy)) $

Quindi, il gradiente della funzione $f$ sarà dato dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( frac(ye^(xy))(1 + e^(xy)) , frac(xe^(xy))(1 + e^(xy)) ) $

Per calcolare il valore del gradiente in un preciso punto, basterà sostituire le coordinate del punto alla formula del gradiente:

$ nabla f(2,-1) = ( frac(-e^(-2))(1 + e^(-2)) , frac(2e^(-2))(1 + e^(-2)) ) $

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