Il limite si presenta nella forma indeterminata
[math]0/0[/math]
; per risolverlo, essendoci delle radici al denominatore, possiamo provare a razionalizzare la frazione, moltiplicando numeratore e denominatore per l'espressione [math]\sqrt{1+x^2} + \sqrt(1+y^2) [/math]
:
[math] \displaystyle \lim_{ (x,y) \to (1,1) } \frac{ (x+y) \cdot (x-1)^2 \\sin(x-y) }{ \sqrt{1+x^2} - \sqrt(1+y^2) } \cdot \frac{\sqrt{1+x^2} +\sqrt(1+y^2)}{\sqrt{1+x^2} + \sqrt(1+y^2)} [/math]
Procediamo calcolando i prodotti:
[math] \displaystyle \lim_{ (x,y) \to (1,1) } \frac{ (x+y) \cdot (x-1)^2 \cdot \\sin(x-y) \cdot (\sqrt{1+x^2} + \sqrt(1+y^2))}{ (\sqrt{1+x^2} - \sqrt(1+y^2)) \cdot (\sqrt{1+x^2} + \sqrt(1+y^2)) } [/math]
Al denominatore abbiamo un prodotto somma per differenza, che pu essere scritto come quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo:
[math] \displaystyle \lim_{ (x,y) \to (1,1) } \frac{ (x+y) \cdot (x-1)^2 \cdot \\sin(x-y) \cdot (\sqrt{1+x^2} + \sqrt(1+y^2))}{ (\sqrt{1+x^2})^2 - (\sqrt(1+y^2))^2 } [/math]
[math] \displaystyle \lim_{ (x,y) \to (1,1) } \frac{ (x+y) \cdot (x-1)^2 \cdot \\sin(x-y) \cdot (\sqrt{1+x^2} + \sqrt(1+y^2))}{ 1+x^2 - 1-y^2 } [/math]
[math] \displaystyle \lim_{ (x,y) \to (1,1) } \frac{ (x+y) \cdot (x-1)^2 \cdot \\sin(x-y) \cdot (\sqrt{1+x^2} + \sqrt(1+y^2))}{ x^2 -y^2 } [/math]
Possiamo fattorizzare il denominatore, essendo esso la differenza di due quadrati:
[math] \displaystyle \lim_{ (x,y) \to (1,1) } \frac{ (x+y) \cdot (x-1)^2 \cdot \\sin(x-y) \cdot (\sqrt{1+x^2} + \sqrt(1+y^2))}{ (x+y)(x-y) } [/math]
A questo punto, notiamo che possibile effettuare una semplificazione con uno dei termini del numeratore:
[math] \displaystyle \lim_{ (x,y) \to (1,1) } \frac{ (x-1)^2 \cdot \\sin(x-y) \cdot (\sqrt{1+x^2} + \sqrt(1+y^2))}{ (x-y) } [/math]
Non abbiamo ancora risolto la forma di indeterminazione, per possiamo ora determinare il valore del limite; notiamo, infatti, che abbiamo al numeratore una funzione seno con argomento uguale al denominatore della frazione; poiché tale valore tende a zero per
[math](x,y) \to (1,1) [/math]
, possiamo ricondurci al limite notevole seguente:
[math] \displaystyle \lim_{ z \to 1 } \frac{ \\sin(z)}{z} = 1[/math]
Nel nostro caso avremo quindi:
[math] \displaystyle \lim_{ (x,y) \to (1,1) } (x-1)^2 \cdot (\sqrt{1+x^2} + \sqrt(1+y^2)) \cdot \frac{\\sin(x-y)}{x-y} = 0 [/math]
