Calcolare il valore del seguente limite: $ lim_( (x,y) to (1,1) ) frac( (x+y) * (x-1)^2 sin(x-y) )( sqrt(1+x^2) – sqrt(1+y^2) ) $

Il limite si presenta nella forma indeterminata $0/0$; per risolverlo, essendoci delle radici al denominatore, possiamo provare a razionalizzare la frazione, moltiplicando numeratore e denominatore per l’espressione $sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2) $ :

$ lim_( (x,y) to (1,1) ) frac( (x+y) * (x-1)^2 sin(x-y) )( sqrt(1+x^2) – sqrt(1+y^2) ) * frac(sqrt(1+x^2) +sqrt(1+y^2))(sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)) $

Procediamo calcolando i prodotti:

$ lim_( (x,y) to (1,1) ) frac( (x+y) * (x-1)^2 * sin(x-y) * (sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)))( (sqrt(1+x^2) – sqrt(1+y^2)) * (sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)) ) $

Al denominatore abbiamo un prodotto somma per differenza, che può essere scritto come quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo:

$ lim_( (x,y) to (1,1) ) frac( (x+y) * (x-1)^2 * sin(x-y) * (sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)))( (sqrt(1+x^2))^2 – (sqrt(1+y^2))^2 ) $

$ lim_( (x,y) to (1,1) ) frac( (x+y) * (x-1)^2 * sin(x-y) * (sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)))( 1+x^2 – 1-y^2 ) $

$ lim_( (x,y) to (1,1) ) frac( (x+y) * (x-1)^2 * sin(x-y) * (sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)))( x^2 -y^2 ) $

Possiamo fattorizzare il denominatore, essendo esso la differenza di due quadrati:

$ lim_( (x,y) to (1,1) ) frac( (x+y) * (x-1)^2 * sin(x-y) * (sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)))( (x+y)(x-y) )  $

A questo punto, notiamo che è possibile effettuare una semplificazione con uno dei termini del numeratore:

$ lim_( (x,y) to (1,1) ) frac( (x-1)^2 * sin(x-y) * (sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)))( (x-y) )  $

Non abbiamo ancora risolto la forma di indeterminazione, però possiamo ora determinare il valore del limite; notiamo, infatti, che abbiamo al numeratore una funzione seno con argomento uguale al denominatore della frazione; poiché tale valore tende a zero per $(x,y) to (1,1) $, possiamo ricondurci al limite notevole seguente:

$ lim_( z to 1 ) frac( sin(z))(z) = 1$

Nel nostro caso avremo quindi:

$ lim_( (x,y) to (1,1) ) (x-1)^2 * (sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)) * frac(sin(x-y))(x-y) = 0 $

Potrebbe interessarti

 

Commenti

commenti