Algebra: Elementi massimali e minimali

[whiterabbit]

Anzitutto ciao a tutti.

Avrei un problemino con il calcolo degli elementi massimali e minimali di una data relazione, mi potreste illuminare?

Prendiamo per esempio questa relazione:
X=ℕ×ℕ
(a,b)ρ(c,d) se e solo se a|c e d|b.

Ora, come calcolo gli elementi massimali e minimali? io sò che un elemento massimale è un elemento tale che:

A⊆X

x∈A, ∀a∈A (x,a)¬∈R



Ora di quali elementi possiamo dire che ciò sia vero? di nessuno? perchè se prendiamo il caso limite in cui A = N allora ci sarà sempre almeno un elemento all'interno di A che è divisibile per sè stesso.
Non riesco a venirne fuori Ero abituato con matematica in cui mi veniva dato il sottoinsieme A ora non viene dato quindi prendo per limite che sia A=N o A= 0. Ma nel caso sia uguale ad N non ci saranno mai massimali o minimali. In cosa sbaglio?

Grazie mille per l'attenzione.


EDIT: Uhm perchè non si vedono le immagini Se copiate i link all'interno dei tag ci sono le immagini..

[Martino]

No ti prego

Almeno scrivi le formule col \$ ! Si fa così: metti un \$ prima della formula e un \$ dopo.

Ti scrivo meglio quello che chiedi:

Avrei un problemino con il calcolo degli elementi massimali e minimali di una data relazione, mi potreste illuminare?

Prendiamo per esempio questa relazione:
$X=NN xx NN$
$(a,b) rho (c,d)$ se e solo se $a|c$ e $d|b$.

Ora, come calcolo gli elementi massimali e minimali? io sò che un elemento massimale è un elemento tale che:

$A subseteq X$

$x in A,\ forall a in A\ (x,a) not in R$

Ora di quali elementi possiamo dire che ciò sia vero? di nessuno? perchè se prendiamo il caso limite in cui A = N allora ci sarà sempre almeno un elemento all'interno di A che è divisibile per sè stesso.
Non riesco a venirne fuori Ero abituato con matematica in cui mi veniva dato il sottoinsieme A ora non viene dato quindi prendo per limite che sia A=N o A= 0. Ma nel caso sia uguale ad N non ci saranno mai massimali o minimali. In cosa sbaglio?

E' giusto?

Comunque la tua richiesta non mi sembra molto chiara. Vuoi trovare un elemento massimale/minimale in $X$ ? Cosa rappresenta $A$ ? Vuoi trovare un elemento massimale in ogni fissato $A$ ?
E comunque la relazione che hai scritto è riflessiva, quindi non è possibile che dato $x in A$ si abbia $(x,a) not in R$ per ogni $a in A$ (perché almeno $(a,a) in R$).

PS: ah, benvenuto nel forum!

[whiterabbit]

Si, la tua riscrittura è corretta. Grazie e mi scuso per il casino, ma non ho trovato il BBcode adeguato e mi son buttato sul servizio on-line per creare le immagini delle formule in latex ma non le vede correttamente qua..


Per il resto:

1) nemmeno a me la mia richiesta sembra molto chiara ehehe mi spiego meglio. Quella più che una mia richiesta è una richiesta fatta da un testo d'esame che stò cercando di svolgere. Gli elementi massimali e minimali sono di $A$ ma nel testo dell'esercizio non viene definito $A$ per quello mi chiedevo se bisogna assumerlo nei casi limite cioè uguale a zero e uguale ad N. Credo che sia "Vuoi trovare un elemento massimale in ogni fissato $A$?"

2) Esatto è quello che mi chiedo anch'io. In tutti gli esercizi mi viene data una relazione d'ordine cioè riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Mentre in matematica avevo la distinzione fra ordine largo ed ordine stretto in Algebra me le chiama solo relazioni d'ordine non menzionando minimamente l'ordine stretto (antiriflessiva, transitiva) e quindi mi chiedevo come potessi trovare massimali e minimali visto che almeno per un elemento esso è in relazione con sè stesso.

Eppure ciò viene richiesto in praticamente tutti gli esercizi simili. Forse se fosse un reticolo si potrebbero trovare? e allora il reticolo sarebbe una relazione d'ordine stretto?

Un reticolo è un insieme $X,\leq$ in cui esiste estremo superiore ed estremo inferiore.

Bho, questa parte m'è poco chiara e non son riuscito a darmi una risposta. Idee?

[whiterabbit]

Altro esercizio di esempio:

2) Si consideri la seguente relazione sull’insieme Z dei numeri interi:
$a\rhob$ sta per $a | b$ e $a\leq b$.
Si dica se $\rho$ è una relazione d’ordine e, in questo caso, si determinino gli elementi massimali e
minimali e si dica se $Z,\rho$ è un reticolo.


Allora io posso dimostrare le 3 proprietà delle relazioni d'ordine che sono:
1) Riflessiva;
2) Antisimmetrica;
3) Transitiva

1)
$a \rho a$ $a | a$ e $a \leq a$ e quindi ci siamo è riflessiva
2)
$a \rho b$ $a | b$ e $a \leq b$
$b \rho a$ $b | a$ e $b \leq a$ quindi $a = b$
3)
$a \rho b$ $a | b$ e $a \leq b$
$b \rho c$ $b | c$ e $b \leq c$
quindi $a \rho c$ $a | c$ e $a \leq c$

Dopo il testo dell'esercizio da per scontato di trovare elementi massimali e minimali. Dopo per sapere se è un reticolo devo vedere che sia un ordine parziale e abbia estremo superiore ed estremo inferiore.. Ma $A$ con cui trovare i vari elementi massimale minimale maggiorante minorante come li trovo?

[Martino]

Allora, io ritengo che un elemento massimale di un insieme $X$ dotato di una relazione $R$ sia un $x in X$ tale che se $a in X$ e $x R a$ allora $x=a$. Analogamente, un elemento minimale è un $x in X$ tale che se $a in X$ e $a R x$ allora $a=x$.

Analizzo questo caso:

2) Si consideri la seguente relazione sull’insieme Z dei numeri interi:
$a\rhob$ sta per $a | b$ e $a\leq b$.
Si dica se $\rho$ è una relazione d’ordine e, in questo caso, si determinino gli elementi massimali e
minimali e si dica se $Z,\rho$ è un reticolo.

Un elemento massimale è un $x in ZZ$ tale che se $a in ZZ$ e $x rho a$ allora $x=a$. $x rho a$ significa $x|a$ e $x le a$.
Un $x in ZZ$ è quindi massimale se e solo se esso non divide ogni intero strettamente più grande.
E' facile convincersi che l'unico intero che soddisfa questa condizione è lo zero: $x=0$.

Un elemento minimale è un $x in ZZ$ tale che se $a in ZZ$ e $a rho x$ allora $a=x$. $a rho x$ significa $a|x$ e $a le x$.
Un $x in ZZ$ è quindi minimale se e solo se ogni intero strettamente più piccolo non lo divide. Per esempio allora lo zero è minimale.
Non solo: ogni intero negativo è minimale, in quanto dato un intero negativo $y$, ogni intero $le y$ non è inferiore in modulo a $y$.
Invece ogni altro intero non è minimale, perché se $a in ZZ$ e $a>0$ allora $-1 rho a$.

In sintesi: l'insieme degli elementi massimali è ${0}$, l'insieme degli elementi minimali è $ZZ_{le 0}$.

[whiterabbit]

Uhm.. Spetta che ci penso su ehehe

Allora un elemento massimale è un elemento

$x\inZ$ se per ogni $a\inZ$ $a\nex$, $x$ non è in relazione con $a$.

Ora zero non è diverso da a per ogni a appartenente a Z perchè per almeno un elemento a 0 = 0 cioè quello che dicevamo all'inizio per la proprietà riflessiva no?

Ma tu hai girato la cosa giusto? cioè dici se $x\rhoa$ allora $x=a$ ma dopo rigirandolo: è un massimale se e solo se esso non divide ogni intero strettamente più grande, e è diverso da a. no?

Gira e rigira mi vien mal di testa qua

[Martino]

Allora un elemento massimale è un elemento

$x in Z$ se per ogni $a in Z$ $a ne x$, $x$ non è in relazione con $a$

No, io non ho detto questo. Io ho detto: un elemento massimale è un elemento $x in Z$ tale che per ogni $a in Z$, se $x R a$ allora $x=a$.

Purtroppo non riesco a capire i tuoi dubbi (il che è normale, dato che nella più parte dei casi se uno sa spiegare alla perfezione i suoi dubbi significa che non ha bisogno di chiarimenti )
Mi limito a fare un commento:

Ma tu hai girato la cosa giusto? cioè dici se $x\rhoa$ allora $x=a$ ma dopo rigirandolo: è un massimale se e solo se esso non divide ogni intero strettamente più grande, e è diverso da a. no?

Io dico: dato un insieme $X$ dotato della relazione d'ordine $R$,

(1) un elemento $x in X$ si dice massimale se ogni volta che $a in X$ e $x R a$ si ha $a=x$.

Quindi come vedi $a$ è una variabile "muta": io potrei anche dire:

(2) un elemento $x in X$ è massimale se non è in relazione a sinistra con nessun elemento che non sia $x$.

Le definizioni (1) e (2) sono equivalenti, ma come vedi nella (2) non ho usato il simbolo $a$.

Poi nell'esempio da te proposto non ho fatto altro che applicare la definizione (1) per trovare gli elementi massimali, e ho proceduto analogamente per i minimali.

Spero di aver intuito i tuoi dubbi.

[whiterabbit]

No, io non ho detto questo. Io ho detto: un elemento massimale è un elemento $x in Z$ tale che per ogni $a in Z$, se $x R a$ allora $x=a$.

Purtroppo non riesco a capire i tuoi dubbi (il che è normale, dato che nella più parte dei casi se uno sa spiegare alla perfezione i suoi dubbi significa che non ha bisogno di chiarimenti )
Mi limito a fare un commento:

Il mio dubbio principale era nel definire il massimale che per me è sempre stato come ho scritto sopra. Non ho mai visto un massimale definito come dici tu. Tutto li Poi una volta data la tua definizione come mai 0 lo sia ci son arrivato

Io dico: dato un insieme $X$ dotato della relazione d'ordine $R$,

(1) un elemento $x in X$ si dice massimale se ogni volta che $a in X$ e $x R a$ si ha $a=x$.

Quindi come vedi $a$ è una variabile "muta": io potrei anche dire:

(2) un elemento $x in X$ è massimale se non è in relazione a sinistra con nessun elemento che non sia $x$.

Le definizioni (1) e (2) sono equivalenti, ma come vedi nella (2) non ho usato il simbolo $a$.

Poi nell'esempio da te proposto non ho fatto altro che applicare la definizione (1) per trovare gli elementi massimali, e ho proceduto analogamente per i minimali.

Spero di aver intuito i tuoi dubbi.

La definizione due non è "se non è in relazione a sinistra con nessun elemento e è diverso da sè stesso" ? allora sarebbe come la definizione data da me nel post precedente. Il fatto che non sia in relazione ma possa essere uguale a sè stesso era questo il dubbio perchè in generale essendo riflessiva $x\rhox$

[Martino]

Sì scusa hai ragione sono stato precipitoso.

La tua definizione:

Allora un elemento massimale è un elemento

$x in Z$ se per ogni $a in Z$ $a ne x$, $x$ non è in relazione con $a$

e la mia:

un elemento massimale è un elemento $x in Z$ tale che per ogni $a in Z$, se $x R a$ allora $x=a$.

sono perfettamente equivalenti (è la stessa definizione scritta in due modi diversi) !! E' pure facile vederlo.

Quindi ora non dovrebbero esserci più problemi?

[whiterabbit]

hehehe, il problema stà nel fatto che per me $a\nex$ per essere massimale e invece 0 = 0 quindi non sarebbe un massimale no?