Azioni di un gruppo e omomorfismi

[Paolo90]

Buonasera a tutti.

Ho bisogno per cortesia di un chiarimento a proposito delle azioni di un gruppo su un insieme. Ho letto sulle note di Martino (esercizio 32) che dare un'azione di un gruppo $G$ su un insieme $X$ è equivalente a dare un omomorfismo da $G$ a $"Sym"(X)$ (=gruppo delle funzioni biiettive dell'insieme $X$ in se stesso).

Io non riesco proprio a immaginarmi com'è fatto un omomorfismo del genere. Qualcuno potrebbe farmi un esempio per piacere?

Io mando un elemento di $G$ in una funzione biiettiva sull'insieme $X$, cioè in una permutazione degli elementi di X. Ma come lavora?
Capisco la grande utilità di lavorare con gli omomorfismi anzichè direttamente con le azioni, ma chi mi garantisce che il tutto funzioni? Voglio dire: perchè non posso avere due omomorfismi diversi "associati" alla stessa azione?

Ad esempio, prendiamo l'azione (sinistra) di un gruppo $G$ su un insieme $X$ non meglio specificato definita da \( \displaystyle \ast \colon G \times X \to X \) con \( \displaystyle g \ast x =xg^{-1} \) .

Come è fatto l'omomorfismo da $G to "Sym"X$? Com'è definito?
Grazie in anticipo a chi saprà illuminarmi.

[dissonance]

[Premessa: mi sono voluto cimentare con un argomento che non mastico spesso. Prego prendere tutto con le pinze. Se poi qualche esperto vero mi vuole correggere, meglio ancora.]

Io credo che questo risultato sia più che altro teorico. In generale ogni struttura si porta appresso un gruppo di trasformazioni, ovvero un gruppo di applicazioni bigettive che preservano la struttura: un insieme ha le permutazioni, uno spazio vettoriale gli isomorfismi lineari, uno spazio euclideo i movimenti rigidi, una varietà differenziabile i diffeomorfismi, ecc...

Quando un gruppo agisce su una struttura, per esempio (ma è l'esempio meno illuminante) su un insieme, significa che ogni suo elemento compie una certa operazione su tutti gli elementi della struttura, e lo fa in modo compatibile con la struttura stessa. Ovvero, l'elemento del gruppo si identifica con un elemento del gruppo di trasformazioni associato alla struttura; e alzando ancora la precisione del linguaggio, è dato un omomorfismo di gruppi dal gruppo agente al gruppo di trasformazioni.

Esempio.
Prendiamo il gruppo ciclico di ordine 2 $C_2={"id", s}$. Consideriamo poi l'ìnsieme $X={1, 2, 3}$, sul quale $C_2$ può agire mediante "shift a sinistra":

$s1=2, s2=3, s3=1$.

Si tratta di una azione di gruppo. Allora ad $"id"$ resta associata la permutazione identica, ad $s$ la permutazione $(1 2 3)$ (che manda l'1 nel 2, il 2 nel 3, il 3 nell'1). Questa associazione è un omomorfismo di gruppi.

Altro esempio.
Prendiamo stavolta non un semplice insieme ma lo spazio vettoriale euclideo $RR^2$, ad esso è associato il gruppo delle isometrie lineari $O(2)$ che confondiamo con il gruppo delle matrici ortogonali 2x2. Riprendiamo in considerazione $C_2$: stavolta lo facciamo agire come "rotazione di 180°":

$s(x, y)=(-y, x)$.

Anche questa è una azione di gruppo, inoltre ad ogni elemento di $C_2$ è associata una isometria e l'associazione è particolarmente "buona", quindi ci sono varie proprietà in più.
Ma soprattutto restano associate ad $"id"$ l'isometria corrispondente alla matrice $((1, 0), (0, 1))$ e ad $s$ l'isometria corrispondente alla matrice $((0, -1), (1, 0))$: e guarda caso questa associazione è un omomorfismo di gruppi.

Sono esempi molto cretini, ma spero di avere reso l'idea.

[Martino]

Notazione: una funzione f applicata ad un elemento x ci agisce da sinistra, in altre parole se g è un'altra funzione allora la composizione gf manda x in \( \displaystyle (gf)(x):=g(f(x)) \) .

Costruzione 1. Data un'azione a sinistra \( \displaystyle G \times X \to X \) , \( \displaystyle (g,x) \mapsto g \ast x \) del gruppo G sull'insieme X, vogliamo costruire un omomorfismo \( \displaystyle G \to \text{Sym}(X) \) . Mandiamo \( \displaystyle g \in G \) nella funzione \( \displaystyle X \to X \) che manda \( \displaystyle x \) in \( \displaystyle g \ast x \) .

Costruzione 2. Dato un omomorfismo di gruppi \( \displaystyle \varphi: G \to \text{Sym}(X) \) vogliamo costruire un'azione a sinistra di G su X. Mandiamo la coppia \( \displaystyle (g,x) \in G \times X \) in \( \displaystyle \varphi(g)(x) \) (la biiezione \( \displaystyle \varphi(g) \) di X applicata a \( \displaystyle x \) ).

Le due costruzioni esposte sono una l'inversa dell'altra. In altre parole:

- se a partire da un'azione costruiamo l'omomorfismo tramite la costruzione 1 e a partire da questo omomorfismo costruiamo l'azione tramite la costruzione 2 otteniamo l'azione da cui siamo partiti;

- se a partire da un omomorfismo \( \displaystyle G \to \text{Sym}(X) \) costruiamo l'azione tramite la costruzione 2 e a partire da questa azione costruiamo l'omomorfismo tramite la costruzione 1 otteniamo l'omomorfismo da cui siamo partiti.

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Nota bene: se ora cambiamo notazione e diciamo che una funzione f agisce su un elemento x da destra, nel senso che la composizione gf manda x in \( \displaystyle x^{gf} := (x^g)^f \) allora tutto quanto detto finora vale sostituendo "sinistra" a "destra".

[Paolo90]

Ok, forse ci sono, grazie ad entrambi, come al solito.

Voglio solo vedere se ho fatto bene una cosa, poi per oggi penso possa bastare. In riferimento alla costruzione 1, che era quella che mi mandava in crisi stasera, voglio controllare che la funzione immagine dell'omomorfismo sia effettivamente una biiezione di $X$ in sè.

Ho fatto così. Fisso $g \in G$ e considero la funzione $f_g: X \to X$ che manda \( \displaystyle x \mapsto g \ast x \) . Voglio provare che è $f$ è biiettiva.

1. Iniettività: se \( \displaystyle g \ast x_{1} = g \ast x_{2} \) ho, applicando $f_{g^{-1}}$ ad ambo i membri, \( \displaystyle g^{-1} \ast g \ast x_{1} = g^{-1} \ast g \ast x_{2} \) da cui banalmente $x_1=x_2$ per la prima proprietà delle azioni.

2. Suriettività: è sufficiente osservare che preso un qualsiasi $x \in X$ esso è immagine mediante $f$ dell'elemento $g^{-1}x$: infatti, \( \displaystyle g^{-1}x \mapsto g \ast (g^{-1}x)=x \) sempre per la proprietà delle azioni.

Che dite può andare?

A questo punto, allora vi chiedo: il nucleo dell'azione (=intersezione di tutti gli stabilizzatori) è il nucleo dell'omomorfismo $\varphi$ che abbiamo costruito (costruzione 1). Vuol dire che, per trovare il nucleo dell'azione, io mi devo chiedere: quali sono gli elementi $g in G$ tali per cui la $f_g: X to X$ (che manda x in \( \displaystyle g \ast x \) ) è l'identità? Ho detto bene?

Se trovo che l'unico elemento di $G$ per cui $f_g$ è l'identità è l'elemento neutro concludo che l'azione è fedele.

Tutto ok?

P.S. Una curiosità: in questo gioco continuo di "scambi" (le azioni per omomorfismi ma non solo) chi ha la meglio? Voglio dire: il vantaggio di questo risultato sta nel poter "rappresentare" un'azione mediante un omomorfismo o viceversa? O nel fatto che in qualche modo i concetti di azione e omomorfismo sono "interscambiabili"?

GRAZIE ancora di tutto.

[Martino]

Tutto ok?

Sì, tutto ok.

P.S. Una curiosità: in questo gioco continuo di "scambi" (le azioni per omomorfismi ma non solo) chi ha la meglio? Voglio dire: il vantaggio di questo risultato sta nel poter "rappresentare" un'azione mediante un omomorfismo o viceversa? O nel fatto che in qualche modo i concetti di azione e omomorfismo sono "interscambiabili"?

La forza di questa interscambiabilità sta nel fatto che quello che succede da una parte si può tradurre dall'altra.

Per esempio se un gruppo G agisce fedelmente su n oggetti allora da quanto detto segue subito che |G| deve dividere n!.

Un altro esempio: se G agisce fedelmente su X allora l'azione indotta di ogni sottogruppo di G su X è fedele (perché se \( \displaystyle H \leq G \leq \text{Sym}(X) \) allora \( \displaystyle H \leq \text{Sym}(X) \) ). Per esempio dato che l'azione di \( \displaystyle GL(n,\mathbb{R}) \) su \( \displaystyle \mathbb{R}^n \) è fedele, l'azione di ogni sottogruppo di \( \displaystyle GL(n,\mathbb{R}) \) su \( \displaystyle \mathbb{R}^n \) è fedele (per esempio lo è l'azione di O(n)).

Un altro esempio è il teorema di Cayley: ogni gruppo G si immerge in Sym(G). Infatti l'azione di G su G data dalla moltiplicazione a destra è fedele. Questo dice per esempio che ogni gruppo finito è sottogruppo di un qualche \( \displaystyle S_n \) .

Un altro esempio: dati un gruppo G (non necessariamente finito) e un suo sottogruppo H, possiamo dimostrare che se H ha indice finito allora il cuore normale di H (cioè il più grande sottogruppo normale di G contenuto in H, che coincide con l'intersezione dei coniugati di H) ha indice finito. [In altre parole per un gruppo avere un sottogruppo di indice finito è equivalente ad avere un sottogruppo normale di indice finito]. Infatti denotato con \( \displaystyle H_G \) tale cuore normale, si ha che G agisce sui laterali destri di H per moltiplicazione a destra e il nucleo è \( \displaystyle H_G \) . Per il teorema di isomorfismo si ha quindi che \( \displaystyle G/H_G \) si immerge in \( \displaystyle \text{Sym}([G:H]) \) e in particolare \( \displaystyle [G:H_G] \) divide \( \displaystyle [G:H]! \) .

Una conseguenza diretta di quest'ultimo esempio è che se p è il più piccolo primo che divide l'ordine del gruppo finito G allora ogni sottogruppo di G di indice p è normale. Infatti se H ha indice p allora \( \displaystyle [G:H_G] \) divide \( \displaystyle p! \) e d'altra parte non può avere fattori primi minori di p, quindi \( \displaystyle [G:H_G]=p \) , in altre parole \( \displaystyle H=H_G \) , cioè H è normale.

[vict85]

Le azioni sono un argomento molto importante della teoria dei gruppi e ritengo un po' trascurato nei corsi base. Probabilmente sarebbe meglio mostrare molti più esempi, non solo quelli fatti da Martino, ma anche altri più geometrici che sono, alle volte, più comodi per visualizzarle. La maggior parte degli usi dei gruppi negli altri settori della matematica ha a che fare con le azioni (anche se nel caso in cui l'insieme diventi infinito si tende a considerare azioni con particolari caratteristiche e quindi a omomorfismi verso sottoinsiemi particolari di \( \displaystyle \text{Sym}(X) \) come può essere \( \displaystyle GL(\mathbb{R},n) \) ).

La topologia algebrica per esempio usa ampiamente le azioni di gruppo. Ma ci sono modi per studiare i gruppi che usano il fatto che esiste una particolare azione verso un qualche spazio. In fondo una azione dei gruppi non è altro che l'usare il gruppo in un caso concreto...

[Paolo90]

Perfetto, ora è tutto molto più chiaro.

Vi ringrazio.

[Paolo90]

Scusate, mi sto di nuovo bloccando su un esercizio.
Prendete un gruppo $G$, un suo sottogruppo $H$. Chiamiamo $X={Hy, y in G}$ cioè l'insieme dei laterali destri modulo $H$. Consideriamo l'azione di moltiplicazione a sinistra: $(g,Hy) \mapsto H(gy)$.

Ho fatto vedere che l'azione è transitiva (per ogni $Hx in X$ esiste $g=xy^-1 in G$ tale che $(g,Hy) mapsto Hx$), ma ho ovviamente problemi a trovare lo stabilizzatore. So che è elementare ma mi perdo in un bicchiere d'acqua: cerco $\text{Stab}(Hy)={g in G " tali che " (g,Hy) mapsto Hy}$ cioè $Hgy=Hy$. Adesso come faccio a trovarmi i $g$ che vanno bene?
Dovrebbe venire fuori che i $g$ sono tutti del tipo $yHy^-1$ ma sono tre ore che giro e rigiro e non riesco ad uscirne... qualcuno ha un'idea, per piacere?
Grazie

[mistake89]

E' solo un'idea: ma non potrebbero essere gli elementi di $H$? infatti per ogni $g in H$ $Hgy=Hy$.

Prendila con le molle ovvimente

[Martino]

Scusate, mi sto di nuovo bloccando su un esercizio.
Prendete un gruppo $G$, un suo sottogruppo $H$. Chiamiamo $X={Hy, y in G}$ cioè l'insieme dei laterali destri modulo $H$. Consideriamo l'azione di moltiplicazione a sinistra: $(g,Hy) \mapsto H(gy)$.

Quella di cui parli non è un'azione in generale.

Infatti se \( \displaystyle Hx=Hy \) non è detto che \( \displaystyle Hgx=Hgy \) (prova a verificarlo), quindi la tua posizione non è ben definita.

L'azione che ha senso è l'azione (a destra) di moltiplicazione a destra sui laterali destri: \( \displaystyle (Hx,g) \mapsto Hxg \) (ti avevo scritto così in privato). Oppure la moltiplicazione a sinistra sui laterali sinistri.