Caratterizzazione gruppi semplici

[Martino]

Una caratterizzazione divertente:

Dato un gruppo \( \displaystyle G \) , mostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. \( \displaystyle G \) è semplice.
2. \( \displaystyle \Delta := \{(g,g)\ |\ g \in G\} \) è un sottogruppo massimale di \( \displaystyle G \times G \) .

[mistake89]

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Ci provo sperando di non dire bestialità, anche perchè ho appena letto la definizione di sottogruppo massimale, quindi potrei averla capita male

$1->2$
Considero il gruppo $Delta$, esso risulta normale in $GxG$ perchè stabile sotto la coniugazione, poichè per ipotesi $G$ è semplice, allora $Delta=GxG$
Ma questa cosa non mi convince... è vero sempre che un prodotto diretto di gruppi semplici è semplice?

$2->1$
costruisco un omomorfismo $phi$ da $GxG$ in $G$ con la mappa che associa a $(g,g)$, $ginG$. Il $ker$ è ridotto al solo elemento neutro, e risulta ovviamente surgettivo. Posso costruire il quoziente $GxG//kerphi$, essendo il $ker$ un sottogruppo normale, e so che il mio gruppo quoziente è isomorfo a $G=Im(phi)$. Ma essendo $ker$ banale, allora $GxG//Kerphi=GxG$, quindi $G$ è semplice.

Che dici Martino, ho detto qualche bestialità?

[Martino]

Ho due obiezioni.

(a) $Delta$ non è normale in $G xx G$.

(b) La seconda parte ($2 to 1$) non dimostra niente. La mappa $(g,g) to g$ è un isomorfismo, e non capisco come deduci da questo che $G$ è semplice.

PS: se $G ne {1}$ è semplice allora $G xx G$ non è mai semplice.

[mistake89]

Immaginavo di aver detto bestialità
Ci penserò ancora un pò su. Chiedo giusto per avere la certezza, ancora ho capito male, un sottogruppo si dice massimale se è il più grande dei sottogruppi (propri) di un gruppo $G$? Dove ho letto la definizione io la riferiva in generale ad una certa proprietà $P$

Il PS me lo annoterò, può sempre tornare utile.
Grazie!

[Martino]

un sottogruppo si dice massimale se è il più grande dei sottogruppi (propri) di un gruppo $G$?

Più precisamente, un sottogruppo proprio $M$ di $G$ si dice sottogruppo massimale di $G$ se non esistono sottogruppi propri $H$ di $G$ che contengono propriamente $M$. In altre parole ogni volta che $M le H le G$ si ha $H=M$ oppure $H=G$.

Il PS me lo annoterò, può sempre tornare utile.

Se ci pensi è ovvio: ${1} xx G$ e $G xx {1}$ sono sottogruppi normali di $G xx G$

[mistake89]

Martino, ho trovato una definizione equivalente di gruppo semplice che magari spiega un pò cosa ho tentato di fare per dimostrare $2->1$

$G$ è semplice se i soli gruppi omomorfi a $G$ sono isomorfi a $G$ o a ${1}$.
Con questo intento ho costruito il mio isomorfismo, ma magari c'era qualcosa che non andava!

[Martino]

Il fatto è che un gruppo $G$ è sempre isomorfo a $Delta={(g,g)\ |\ g in G}$, a prescindere da come sia fatto $G$.

[mistake89]

Ho capito! Però non capisco allora la definizione di semplice sopra esposta, devo pensarci meglio.
Continuerò a pensarci... ieri mi ha fatto volar via il pomeriggio

[vict85]

Devo ammettere che questa risposta è frutto di una ricerca; quindi non mi è venuta in mente proprio spontaneamente. Devo ammettere che è un problema relativamente difficile ma effettivamente abbastanza illuminante, almeno per me.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

LEMMA Se \( \displaystyle N \) è un sottogruppo normale allora il sottoinsieme \( \displaystyle S \) di \( \displaystyle G^2 \) definito come \( \displaystyle S=\cup (g,g)N^2 \) (l'unione dei quadrati dei laterali sinistri di \( \displaystyle N \) ) è un sottogruppo di \( \displaystyle G \) .

Ovviamente dimostrato questo segue il teorema direttamente.

DIMOSTRAZIONE - Devo dimostrare che \( \displaystyle (g_1n_1,g_1n_2)(g_2n_3,g_2n_4)^{-1}\in S \) .
Cominciamo con il fare il calcolo \( \displaystyle (g_1n_1,g_1n_2)(g_2n_3,g_2n_4)^{-1} = (g_1n_1,g_1n_2)(n_3^{-1}g_2^{-1}, n_4^{-1}g_2^{-1}) = (g_1n_1n_3^{-1}g_2^{-1}, g_1n_2n_4^{-1}g_2^{-1}) \) . Per la normalità di \( \displaystyle N \) esisteranno inoltre \( \displaystyle n_5 \) e \( \displaystyle n_6 \) tali che \( \displaystyle n_2n_3^{-1}g_2^{-1} = g_2^{-1}n_5 \) e \( \displaystyle n_2n_4^{-1}g_2^{-1} = g_2^{-1}n_6 \) . Quindi \( \displaystyle (g_1n_1n_3^{-1}g_2^{-1}, g_1n_2n_4^{-1}g_2^{-1}) = (g_1g_2^{-1}n_5, g_1g_2^{-1}n_6)\in S \) .

[Martino]

@vict:

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più semplicemente, se $N$ è normale in $G$ allora $Delta(N xx N)$ è un sottogruppo di $G xx G$ in quanto $N xx N$ è normale in $G xx G$ (in generale se uno di due sottogruppi è normale allora il loro prodotto è un sottogruppo). Inoltre se $N ne G$ allora $Delta(N xx N) ne G xx G$ perché se $g in G-N$ allora $(1,g)$ non appartiene a $Delta(N xx N)$. Questo dimostra $2 to 1$.

Ma $1 to 2$ è ancora intonso

ieri mi ha fatto volar via il pomeriggio

Tempo usato ottimamente