Causa moto circolare

[andrea298]

Buonasera a tutti,
studiando il moto circolare mi domandavo: quali erano le cause che permettevano la traiettoria circolare di questo moto? Cosa fa si che la traiettoria sia un cerchio (abbia quindi r costante) e non un ellisse ad esempio.
Il mio ragionamento è partito dal moto circolare uniforme:
-velocità costante
-accelerazione centripeta costante in modulo ma variabile in direzione. 1. Ora la prima domanda: se non fosse costante l'accelerazione centripeta, non avrei più un moto circolare?
-acc. tangenziale nulla
Per quanto riguardo il moto circolare vario:
-velocità variabile
-accelerazione tangenziale: 2. cosa cambia se fosse variabile o costante? la velocità in entrambi i casi varia in modulo, quindi non è una causa della traiettoria circolare del moto?
-accelerazione centripeta: 3. variabile o costante? anche in questo caso cosa cambia?

Ringrazio in anticipo chi sarò così gentile da aiutarmi

[navigatore]

Un moto è circolare quando (lo dice la parola stessa) la traiettoria del punto materiale $(P,m)$ è una circonferenza.
La causa del moto circolare? Sempre una forza, la quale divisa per la massa causa una accelerazione che fa deviare il vettore velocità del punto dalla direzione rettilinea.
Infatti in generale ogni cambiamento del vettore velocità nel tempo è una accelerazione: può cambiare la sola intensità del vettore, rimanendo costante la direzione rettilinea. Oppure può cambiare la sola direzione del vettore, rimanendo costante l'intensità. Oppure possono cambiare entrambe. Si dimostra (lo dimostrerai, ma comunque se fai una ricerca sul forum lo trovi detto molte volte) che su un punto materiale in moto su una traiettoria mistilinea qualsiasi agisce una accelerazione vettoriale data da :

$veca = veca_t +veca_n = (dv)/(dt)vecT + v^2/r*vecN$

dove nell'ultimo membro il primo termine è l'accelerazione tangenziale ( $vecT$ è il versore tangente), il secondo termine è l'accelerazione centripeta ($vecN$ è il versore normale, diretto verso il centro di curvatura della traiettoria in un dato punto, e $r$ è il raggio di curvatura in quel punto, che è il raggio di un cerchio particolare, detto "cerchio osculatore" della traiettoria in quel punto. Il versore $vecN$ è diretto secondo il raggio, dal punto verso il centro).
Con la relazione scritta, puoi fare tutti i casi che vuoi. Per esempio puoi ritrovare il moto rettilineo uniforme, tanto per cominciare.
Esempi di moto rotatorio: una pietra legata ad uno spago posto in rotazione. Il vincolo (lo spago) esercita sulla massa la forza centripeta, diretta cioè verso il centro.
Un vincolo di corpo rigido: una ruota che gira attorno a un asse è un corpo rigido, se prendi qualsiasi punto la sua distanza dal centro è costante, dunque il moto non può essere che rotatorio. LA forza centripeta c'è pure qui.
Una forza di attrito, esercitata dall'asfalto sulle gomme dell'auto in curva, la quale fa percorrere all'auto la curva stessa, agendo da forza centripeta.

Ma anche una forza di attrazione gravitazionale fa sí che la traiettoria sia incurvata, agendo da forza centripeta. Lo ha scoperto Keplero, per il moto dei pianeti intorno al Sole : conosci le leggi di Keplero? E poi i calcoli li ha fatti anche Newton. La forza attrattiva in questo caso è sempre diretta verso il Sole, il quale ha una massa molto grande se paragonata alle masse dei pianeti: la massa della Terra è circa 330000 volte più piccola della massa del Sole. Se fai il conto proporzionando la massa del Sole a quella di un bambino di 33 kg, la massa della Terra risulta in proporzione....quanto risulta? Una inezia.
Perciò non si commette praticamente errore, dicendo che nel sistema di due corpi come la Terra e il Sole la prima descrive una ellisse di cui il Sole è in un fuoco. In sostanza il centro di massa dei due corpi coincide praticamente col centro di massa del Sole. In questo moto, essendo l'ellisse (poco) eccentrica, la velocità tangenziale della Terra varia sia in direzione che in intensità, essendo il suo modulo maggiore al perielio (circa il 4 Gennaio, appena passato) e minore all'afelio (sei mesi dopo).
Ma se i due corpi hanno masse all'incirca uguali o comunque paragonabili, il moto di entrambi avviene attorno al loro centro di massa.
Lo studio di questi moti rientra in un argomento più vasto, e cioè quello del moto sotto l'azione di una forza "centrale", così chiamata perchè diretta sempre verso un centro. Nel caso del Sole ( o di un corpo celeste qualsiasi) ci possono essere altri tipi di moti centrali, con traiettorie paraboliche o iperboliche, oltre che ellittiche. Dipende dall'energia totale posseduta dal corpo che si avvicina al Sole.
Ma credo di essere andato un po' oltre ciò che volevi sapere.

[andrea298]

Un moto è circolare...

Ti ringrazio tantissimo per la risposta precisa e dettagliata. Quindi, se ho capito bene: affinché un moto sia circolare l'unico vincolo è che la traiettoria abbia raggio costante (altrimenti ovviamente non sarebbe un cerchio), ma non vi è alcuna limitazione per quanto riguardo acc. centripeta che acc. tangenziale. Esse infatti possono variare o rimanere costanti, senza che a causa loro venga intaccata la traiettoria circolare. E' corretto?

[navigatore]

Perfetto!

Naturalmente la costanza del raggio $r$ fa sí che $v^2/r$ dipenda solo dal modulo $v$ della velocità tangenziale. Se cambia $v$, hai non solo una accelerazione tangenziale e quindi una diversa velocità tangenziale, ma anche un diverso modulo della accelerazione centripeta: basta guardare la formuletta che ti ho scritto.
Se anche il modulo di $v$ è costante, il moto oltre ad essere circolare è anche "uniforme" : la velocità periferica cambia solo in direzione, l'accelerazione tangenziale è nulla, rimane la sola accelerazione centripeta di modulo $v^2/r$ detto, diretta vettorialmente verso il centro, che appunto fa cambiare la direzione di $vecv$.
E naturalmente anche la velocità angolare $\omega = (d\theta)/(dt)$ è costante, essendo $ \omega = v/r$.

[andrea298]

...

Grazie mille. Fantastica spiegazione!