"Dire quale condizione devono soddisfare tre cerchi del piano di uguale raggio e privi, a due a due, di punti comuni perché esista un quarto cerchio tangente a tutti e tre che li racchiude tutti. Costruire tale cerchio".
Io ho risolto l'esercizio e volevo chiedere conferma della mia soluzione.
Affinché un cerchio contenga altri tre cerchi (tangenti internamente ad esso), ne consegue che i tre centri dei tre cerchi debbano distare dal centro del cerchio cercato la stessa quantità $d$.. Inoltre affinché il cerchio sia tangente ai tre cerchi, esso avrà raggio pari a $d+R$.
Per trovare il punto che sia equidistante dai tre punti (i tre centri dei cerchi), traccio l'asse del segmento che unisce due dei tre punti e traccio l'asse del segmento che unisce altri due punti. Chiamando A,B,C i tre punti, tracciando l'asse del segmento AB, e tracciando l'asse del segmento BC, ottengo il punto D intersezione di questi due assi. Il punto D appartenendo all'asse di AB è equidistante da A e da B, $AD=DB$, ed appartenendo all'asse di BC è equidistante da B e da C, $DB=DC$. Conseguentemente, per la proprietà transitiva dell'uguaglianza, $AD=DB=DC$. Puntando in D con ampiezza pari a $AD+R$, si traccia il cerchio cercato.
Quindi la condizione per i tre cerchi è che gli assi dei segmenti che uniscono i tre cerchi a due a due non siano a due a due paralleli (altrimenti non esisterebbe il punto D ottenuto per intersezione), cioé i tre cerchi delle circonferenze non devono essere allineati.
Che ne dite?
PS: La mia soluzione non cambia se le circonferenze non fossero prive di punti comuni. A cosa serve quindi questo dettaglio?
Grazie.