Chiusura di Galois

[claudiamatica]

Ciao a tutti, rieccomi con un nuovo problema.

La domanda è questa:
K campo, L/K estensione separabile di grado 5. Supponiamo che la sua chiusura di Galois (di cui so solo la def. ma non conosco caratterizzazioni) M abbia gruppo di Galois (su K) non risolubile.
è possibile dire qualcosa su che gruppo di Galois abbia questa chiusura? Io sono dell'idea che sia A5 ma non so dimostrarlo. Al momento me lo sono giustificato con "è il più piccolo gruppo non risolubile che contenga Z5 come sottogruppo" ma non so se ha senso come cosa.
Qualcuno sa qualcosa al riguardo?

Grazie,
Claudia

[Martino]

Ciao!

Nel caso di estensioni finite separabili la chiusura di Galois coincide col campo di spezzamento del polinomio minimo di un elemento primitivo. Il gruppo di Galois \( \displaystyle G \) di un campo di spezzamento agisce sui cinque zeri permutandoli e tale azione è fedele, quindi ottieni un omomorfismo iniettivo \( \displaystyle G \to S_5 \) . Ne segue che G è un sottogruppo non risolubile di \( \displaystyle S_5 \) , quindi è \( \displaystyle A_5 \) oppure \( \displaystyle S_5 \) . Ma non puoi escludere che si tratti di \( \displaystyle S_5 \) .

[claudiamatica]

Ciao Martino,
scusa se non ho risposto prima.. grazie volevo ringraziarti per la risposta.
L'esercizio poi proseguiva chiedendo di classificare l'S-grado dell'estensione $L/K$, dove S varia tra i gruppi semplici. Non so se la def. di S-grado è cosa nota.. per ora non la riporto qui, e la do per conosciuta.
Procedendo a torre ho costruito in entrambi i casi, cioè $G=A_5$ o $G=S_5$ una catena di sottocampi in modo che i gruppi di galois dei vari pezzettini fossero semplici.
Presa la chiusura di Galois $M$ si hanno quindi le estensioni: $M/L$ ed $M/K$ entrambe di Galois.
Se $G=Gal(M/K)$ è $A_5$ allora per $M/K$ abbiamo finito.
$M/L$ deve essere un sottogruppo di $A_5$ di indice 5, quindi ordine 12. Ne ho dedotto che si tratta, a meno di isormorfismo, di $A_4$.
Una serie di composizione di $A_4$ è $ Z_2 \sub V_4 \sub A_4$, e i quozienti sono $Z_2$, due volte, e $Z_3$. Per il teorema fond. della th di Galois a questi corrispondono dei campi intermedi tra L ed M, e usando la moltiplicatività dell' S-grado i risultati che mi sono venuti (per $L/K$) sono:

$A_5$ -grado: 60
$Z_2$ -grado: 1/4
$Z_3$ -grado: 1/3

Per ogni altro gruppo semplice l'S-grado di $L/K$ viene uguale a 1.
Nel caso $Gal(M/K)=S_5$ cambia solo il fatto che $M/K$ si splitta in due estensioni di Galois con gruppi $A_5$ e $Z_2$.
Mentre $M/L$, che a sto punto ha gruppo di galois $S_4$, si spezza come prima con la differenza che compare uno $Z_2$ in più, per cui i risultati finali per gli S-gradi non cambiano.
Se qualcuno ha voglia di controllare il ragionamento sarei felice di avere una conferma.. sono i primi esercizi che faccio sull'argomento.

[Martino]

Non ho mai sentito parlare di "S-grado". Mi puoi dire che significa?

[claudiamatica]

Data un'estensione di campi finita e separabile $L/K$ e fissato un gruppo semplice S l'S-grado è una funzione che a $L/K$ deve associare un numero razionale positivo $[L:K]_S$ in modo che siano rispettate le condizioni:

1) Se $L/K$ è di Galois con gruppo di Galois semplice allora $[L:K]_S=[L:K]$ se $Gal(L/K)=S$ ed è uguale a 1 altrimenti
2) per ogni torre di estensioni separabili $K \sub L \sub M$ deve valere $[M:K]_S=[M:L] _S [L:K]_S$.

Si dimostra che questa funzione è ben definita e univocamente determinata.
In pratica per come l'ho vista io se $L/K$ è di Galois l'S-grado rispetto a un certo gruppo semplice S è una misura di quanto quel gruppo semplice compare TRA I QUOZIENTI della serie composizionale di $Gal(L/K)$, ovvero di quante inclusioni del tipo $F \sub F'$ con gruppo di Galois semplice hanno proprio quell'S come gruppo di Galois.
F ed F' indicano due generici campi intermedi tra K ed L.

Se poi $L/K$ non è di Galois considero la chiusura di Galois M, e tratto separatamente $M/K$ e $M/L$ che saranno entrambe di Galois, riportandomi per ciascuna al caso precedente.

Quindi per ogni gruppo semplice S l'S-grado di $L/K$ sarà il rapporto tra $[M:K]_S$ e $[M:L]_S$, per la regola 2)

[Martino]

Allora mi sembra tutto giusto.

[claudiamatica]

ok.
grazie mille