Coppie ordinate

[diegmat]

Come mai i testi che prescindono dall'assunzione come "primitivo" del concetto di coppia ordinata, le enunciano come l'insieme {{x},{x,y}}? Non ho capito il senso di questa definizione; vi chiedo scusa per la banalità della questione.

[Martino]

E' semplicemente un espediente per distinguere il primo elemento $x$ dal secondo $y$. Definendo \( \displaystyle (x,y) := \{\{x\},\{x,y\}\} \) puoi chiamare "primo" l'elemento che appartiene all'elemento di \( \displaystyle (x,y) \) con un solo elemento, e "secondo" l'altro.

[diegmat]

Ti ringrazio molto, Martino, eppure non sono ancora sicuro di aver capito. Ho scoperto, scartabellando Google alla ricerca di una risposta, che tale definizione si deve a Kuratowski ma non capisco perchè una coppia (ad esempio del piano cartesiano) debba essere definita come un insieme contenente il singleton del suo primo elemento e un altro insieme contenente i due elementi che concorrono a formare la coppia stessa.

[blackbishop13]

mi pare che la tua domanda non sia tanto su come sia definita, questo lo sai, ma sul perchè sia definita così, ed è sempre un problema sottile.

secondo me il vantaggio di quella definizione è trovare una continuità rigorosa tra la definizione di elemento di un insieme e di una coppia.

infatti partiamo dalla definizione di insieme, diamola per buona, sappiamo cosa sono gli elementi di un insieme.
dato un insieme $S$ possiamo capire cos'è un oggetto del tipo: $(a,b)$ con $a,b in S$ ?
a priori no.. e non è così semplice definirlo, tu come faresti?

e allora c'è questa proposta di definizione, che funziona bene, e diciamo che $(a,b)$ è definito come ${{a},{a,b}} e questo oggetto invece lo conosciamo già.

diciamo che è un classico esempio di come in matematica si cerchi di dare una precisa definizione di tutto, senza lasciare concetti "intuitivi".
ti è chiaro?

[Martino]

non capisco perchè una coppia (ad esempio del piano cartesiano) debba essere definita come un insieme contenente il singleton del suo primo elemento e un altro insieme contenente i due elementi che concorrono a formare la coppia stessa.

Non "deve" essere definita così. Come ti dicevo, è solo un espediente (un possibile modo di definirla). Se tu definissi \( \displaystyle (x,y):=\{x,y\} \) non potresti distinguere il "primo" elemento dal "secondo" (cosa che invece deve essere possibile in una coppia "ordinata"!). Invece definendo \( \displaystyle (x,y) := \{\{x\},\{x,y\}\} \) puoi, perché tale insieme contiene due elementi, $A$ - un insieme di cardinalità 1 - e $B$ - un insieme di cardinalità 2 contenente $A$. Quindi ha senso definire:

- "primo elemento" := l'elemento di $A$;
- "secondo elemento" := l'elemento di $B$ diverso dall'elemento di $A$.

Insomma, con questo espediente hai "ordinato" l'insieme $\{x,y\}$.

Ma ti avviso che la prima volta che ho visto questa definizione sono rimasto anch'io un po' perplesso, l'ho capita veramente dopo un anno almeno. Non stupirti se questa mia spiegazione non esaurisce i tuoi dubbi, secondo me dovresti mettere da parte per un po' questa cosa e riprenderla più avanti.

[diegmat]

Sì, la definizione in effetti mi è chiara, ma continuo a vederla un po' troppo "assiomatica"; non riesco, cioè, a rispondere alla domanda: perchè è così e non altrimenti (ad esempio ${{y},{x,y}}$). Forse è una perplessità stupida (e non credo sia di importanza fondamentale), tuttavia non riesco a risolverla.

[Martino]

Sì, la definizione in effetti mi è chiara, ma continuo a vederla un po' troppo "assiomatica"; non riesco, cioè, a rispondere alla domanda: perchè è così e non altrimenti (ad esempio ${{y},{x,y}}$). Forse è una perplessità stupida (e non credo sia di importanza fondamentale), tuttavia non riesco a risolverla.

Puoi definirla anche così infatti. Vedi il mio intervento precedente.

[diegmat]

non capisco perchè una coppia (ad esempio del piano cartesiano) debba essere definita come un insieme contenente il singleton del suo primo elemento e un altro insieme contenente i due elementi che concorrono a formare la coppia stessa.

Non "deve" essere definita così. Come ti dicevo, è solo un espediente (un possibile modo di definirla). Se tu definissi \( \displaystyle (x,y):=\{x,y\} \) non potresti distinguere il "primo" elemento dal "secondo" (cosa che invece deve essere possibile in una coppia "ordinata"!). Invece definendo \( \displaystyle (x,y) := \{\{x\},\{x,y\}\} \) puoi, perché tale insieme contiene due elementi, $A$ - un insieme di cardinalità 1 - e $B$ - un insieme di cardinalità 2 contenente $A$. Quindi ha senso definire:

- "primo elemento" := l'elemento di $A$;
- "secondo elemento" := l'elemento di $B$ diverso dall'elemento di $A$.

Insomma, con questo espediente hai "ordinato" l'insieme $\{x,y\}$.

Ma ti avviso che la prima volta che ho visto questa definizione sono rimasto anch'io un po' perplesso, l'ho capita veramente dopo un anno almeno. Non stupirti se questa mia spiegazione non esaurisce i tuoi dubbi, secondo me dovresti mettere da parte per un po' questa cosa e riprenderla più avanti.

Il mio precedente post l'ho scritto senza aver letto il tuo messaggio. Beh, grazie al tuo aiuto e a quello di BB, le cose sono un po' più chiare anche se sono cosciente di non avere una padronanza assoluta sull'argomento (se dovessero chiedermi una cosa del genere ad un esame, per esempio, probabilmente incespicherei); il fatto che non sia di immediata comprensione, tuttavia, mi conforta: ero solo all'inizio del libro di algebra e ho pensato: "Se non riesco a capire questa, che immagino sia una banalità, forse non è il caso che continui a leggere".

[Martino]

il fatto che non sia di immediata comprensione, tuttavia, mi conforta: ero solo all'inizio di algebra e ho pensato: "Se non riesco a capire questa, che immagino sia una banalità, forse non è il caso che continui a leggere".

Questo è sbagliato, secondo me è il motivo principale per cui molti abbandonano entro il primo anno. Un consiglio: non farti spaventare da queste cosette, un giorno le cose su cui ti tormenti ora saranno perfettamente chiare.

[diegmat]

il fatto che non sia di immediata comprensione, tuttavia, mi conforta: ero solo all'inizio di algebra e ho pensato: "Se non riesco a capire questa, che immagino sia una banalità, forse non è il caso che continui a leggere".

Questo è sbagliato, secondo me è il motivo principale per cui molti abbandonano entro il primo anno. Un consiglio: non farti spaventare da queste cosette, un giorno le cose su cui ti tormenti ora saranno perfettamente chiare.

Mi auguro che tu abbia ragione. E spero ci siate sempre voi quando avrò qualche perplessità