Coseni degli angoli di un triangolo - SNS 1982

[elios]

"Un triangolo ha gli angoli $alpha$, $beta$, $gamma$ che verificano la condizione
$cos(3alpha)+cos(3beta)+cos(3gamma)=1$.
Si provi che uno di tali angoli vale $2/3pi$."

Ho provato in mille modi algebrici di risolvere quest'equazione, ma non riesco a trovare il modo giusto. Sapreste aiutarmi a cercare la strada per risolverlo? Grazie mille.

[Seneca]

"Un triangolo ha gli angoli $alpha$, $beta$, $gamma$ che verificano la condizione
$cos(3alpha)+cos(3beta)+cos(3gamma)=1$.
Si provi che uno di tali angoli vale $2/3pi$."

Ho provato in mille modi algebrici di risolvere quest'equazione, ma non riesco a trovare il modo giusto. Sapreste aiutarmi a cercare la strada per risolverlo? Grazie mille.

Forse usando le proprietà degli archi associati...

$cos(3alpha)+cos(3beta)+cos(3gamma)=1$

$alpha + beta + gamma = pi$

$3alpha = 3pi - 3(beta + gamma)$

$cos(3alpha) = cos[3pi - 3(beta + gamma)] = - cos( 3beta + 3gamma )$

E poi applicando le formule di addizione. Il mio è solo un suggerimento; provaci.

...

[Seneca]

E poi applicando le formule di addizione....

Andando avanti con la dimostrazione ho visto che è sconveniente usare le formule di addizione.

[elios]

Sì ci ho provato e viene fuori una cosa molto complicata..

[Seneca]

Sì ci ho provato e viene fuori una cosa molto complicata..

Io l'ho risolto. Vediamo di procedere per passi: ricordi le formule di prostaferesi?

Dopo aver sostituito nella tua condizione di partenza $cos(3alpha) = - cos ( 3gamma + 3beta)$, devi trasformare $cos(3beta)+cos(3gamma)$ in un prodotto.

Dopodiché ricordi che, dalle formule di bisezione, vale l'identità: $cos(x) - 1 = 2cos^2(x/2)$

Non è molto macchinoso; il tutto si riduce a risolvere un'equazione del tipo $cos(z) = cos(y)$.

Dimmi se riesci a concludere così.

[elios]

Grazie mille della traccia (più che traccia!) della risoluzione:
$cos(3beta)+cos(3gamma)-cos(3beta+3gamma)=1$, che diventa
$2cos((3beta+3gamma)/2)*cos((3beta-3gamma)/2)=cos(3beta+3gamma)+1$
Ricordando che $cosx+1=2cos^2(x/2)$ (credo che tu abbia sbagliato il segno prima), si ha
$2cos((3beta+3gamma)/2)*cos((3beta-3gamma)/2)=2cos^2((3beta+3gamma)/2)$
che diventa $cos((3beta-3gamma)/2)=cos((3beta+3gamma)/2)$.
Ora mi incarto nella soluzione..
Questa equazione ha due possibili risultati:
1) $(3beta-3alpha)/2=(3beta+3alpha)/2$, che ha come soluzione $gamma=0$ che è esclusa dall'ipotesi che $gamma$ sia l'angolo di un triangolo
2) $(3beta-3gamma)/2=-(3beta+3gamma)/2$, che ha come soluzione $beta=0$ che è esclusa.

Cosa sto sbagliando?

[Seneca]

Grazie mille della traccia (più che traccia!) della risoluzione:
$cos(3beta)+cos(3gamma)-cos(3beta+3gamma)=1$, che diventa
$2cos((3beta+3gamma)/2)*cos((3beta-3gamma)/2)=cos(3beta+3gamma)+1$
Ricordando che $cosx+1=2cos^2(x/2)$ (credo che tu abbia sbagliato il segno prima), si ha
$2cos((3beta+3gamma)/2)*cos((3beta-3gamma)/2)=2cos^2((3beta+3gamma)/2)$
che diventa $cos((3beta-3gamma)/2)=cos((3beta+3gamma)/2)$.
Ora mi incarto nella soluzione..
Questa equazione ha due possibili risultati:
1) $(3beta-3alpha)/2=(3beta+3alpha)/2$, che ha come soluzione $gamma=0$ che è esclusa dall'ipotesi che $gamma$ sia l'angolo di un triangolo
2) $(3beta-3gamma)/2=-(3beta+3gamma)/2$, che ha come soluzione $beta=0$ che è esclusa.

Cosa sto sbagliando?

E' tutto giusto (ti sei accorto anche della mia svista).

Dunque...

$cos((3beta-3gamma)/2)=cos((3beta+3gamma)/2)$ se e solo se:

1) $(3beta-3alpha)/2=(3beta+3alpha)/2 + 2kpi$
2) $(3beta-3alpha)/2= - (3beta+3alpha)/2 + 2kpi$

Lasciando per un momento perdere la periodicità delle soluzioni andiamo a considerare quelle nell'intervallo $[0;pi]$; converrai che la (2) può essere scritta anche così:

2) $(3beta-3alpha)/2= 2pi - (3beta+3alpha)/2$ (basta prendere $k = 1$ )

[elios]

Ah giusto, che errore idiota!
Grazie mille..!