Costo del ponte - SNS 1985

[elios]

"Per la costruzione di un certo ponte si prevede che il costo di ogni arcata sarà $18*s^2$ miliardi di lire, dove $s$ è la distanza in chilometri fra i due piloni di sostegno di quell'arcata, mentre il costo di ogni pilone sarà di mezzo miliardo. Se il ponte deve essere lungo 3 chilometri quale sarà il minimo costo dell'opera?"

La mia domanda è soprattutto se è giusto considerare che i tratti $s$ debbano essere tutti uguali. Tali tratti sono a somma costante (3 chilometri), conseguentemente il loro prodotto sarà minimo per tutti tratti uguali, ma non ho trovato regole simili per la somma dei quadrati dei tratti..
Considerando tutti i tratti uguali il problema si riduce al calcolo del minimo di
$18*n*s^2+(n+1)*1/2$, con $n$ il numero dei tratti uguali. Essendo $s=3/n$,
$18n*(9/(n^2))+1/2n+1/2= 162/n+1/2n+1/2$.
La derivata è $-162/(n^2)+1/2$ ed è minima per $n=18$. Il costo minimo è 18.5 miliardi.

E' giusto imporre che i tratti debbano essere tutti uguali?
Grazie dell'aiuto.

[Raptorista]

Siccome devi considerare i quadrati delle lunghezze e fare in modo che siano minimi, considera come esempio il caso con un solo pilone: hai due arcate di lunghezza $s$, quindi la somma dei quadrati è $2s^2$.
Spostando il pilone avrai sempre due arcate le cui lunghezze sono $s_1=s+\epsilon$ ed $s_2=s-\epsilon$. La somma dei quadrati delle distanze diventa $s_1^2+s_2^2=(s+\epsilon)^2+(s-\epsilon)^2=s^2+2s\epsilon+\epsilon^2+s^2-2s\epsilon+\epsilon^2=2s^2+2\epsilon^2$ e quindi è sempre maggiore di $2s^2$.

Quindi secondo me è giusto il tuo procedimento

[elios]

Effettivamente sembra giusto che debbano essere uguali..

[giammaria]

Il tuo "sembra giusto" mostra che hai ancora dei dubbi; puoi toglierteli estendendo il ragionamento di Raptorista agli n piloni. Detta s la lunghezza media di un'arcata, se i piloni distano s fra loro, la somma dei quadrati è $ns^2$. Spostiamo ora i piloni 1, 2, ..., n-1 di $a_1, a_2, \ldots, a_(n-1)$ che considereremo positivi in un verso e negativi nell'altro; si vede facilmente che la somma dei quadrati è $ns^2+"somma di quadrati"$ e quindi il valore minimo si ha quando tutte le $a_i$ sono nulle.

[elios]

Sì, ho capito. Grazie mille della spiegazione.