Determinare i polinomi - SNS 1984

[elios]

"Siano $n$ e $k$ due interi assegnati maggiori o uguali a 2; determinare i polinomi $p(x)$ di grado $k$ tali che valga l'identità $p(x^n)=[p(x)]^n$."

Uno dei polinomi richiesti è $p(x)=x^k$, che è in sostanza il caso più generale possibile.
Non capisco come posso addentrarmi nei casi particolari. Forse devo partire da quel "interi assegnati"?
Grazie dell'aiuto.

[G.D.]

E secondo me, a meno del segno e della parità di quella \( \displaystyle n \) , è anche l'unico. Il perché, però, non so dirlo.

[elios]

Cosa intendi con "a meno del segno e della parità di $n$"?

[giammaria]

Concordo nel ritenerla l'unica soluzione, e la mia dimostrazione è la seguente.
Poiché p(x) è di grado k, possiamo porre $p(x)=a_0x^k+q(x)$, con $a_0 \ne 0$ e grado di q(x) = h < k. La formula diventa quindi $a_0x^(kn)+q(x^n)=[a_0x^k+q(x)]^n$, cioè
$a_0x^(kn)+q(x^n)=a_0^n x^(kn)+n a_0^(n-1)x^(k(n-1)) q(x) +\ldots $
In entrambi i membri i termini vanno diminuendo di grado; devono essere uguali quelli di grado maggiore, quindi $a_0=a_0^n$ e poiché il valore zero è escluso, $a_0^(n-1)=1$, da cui $a_0=1$ se n è pari e $a_0=\pm 1$ se n è dispari. Escludendo ora i due primi addendi, si possono avere due casi:
1) q(x) = 0 : ne consegue la soluzione data da elios e migliorata da Wizard
2) altrimenti i due membri devono avere lo stesso grado: ne consegue
$hn= k(n-1)+h ->\ldots -> (k-h)(n-1)=0$, che non può verificarsi.

Altre due cose:
1) Non l'ho esaminata con attenzione, ma mi pare che l'ipotesi $k \ge 2$ sia superflua
2) elios, dove trovi i testi di questi esercizi? (e va bene anche se me lo dice qualcun altro)

[Steven]

2) elios, dove trovi i testi di questi esercizi? (e va bene anche se me lo dice qualcun altro)

http://download.sns.it/proveesame/matm_all.pdf

Ciao!

[giammaria]

Grazie.

[elios]

Grazie mille della soluzione...!

[G.D.]

@giammaria
Eccolo qua! Io lo sapevo che la soluzione la trovavi te!

[alicetritone94]

Ciao mi scuso tanto se rispondo a una discussione terminata da millenni ma ho provato a fare questo esercizio ieri. Ho trovato la stessa soluzione (unica) ma l'ho dimostrata per induzione. Secondo voi va bene lo stesso?? Mi scuso ancora:)

[giammaria]

Non vedendo la tua soluzione, non posso dire nulla di certo. In generale, qualsiasi metodo di soluzione va bene; mi sembra però difficile dimostrare un'unicità con l'induzione.