dimostrare la non esistenza di un limite

[avvogatto]

ciao!

volevo chiedere se qualcuno poteva scrivere la dimostrazione della non esistenza del limite lim(x --> +∞) sin x

perchè non mi è possibile sfruttare il fatto che il limite destro sia diverso dal sinistro, dato che questo è un limite destro.

grazie mille

[Hawk88]

Quel limite non esiste semplicemente perchè la funzione $f(x) = sinx$ è una funziona periodica.

[itpareid]

?limite destro?
devi dimostrare che per $x -> + \infty$ esistono due "sottoinsiemi" nei quali in uno il limite vale $1$ e nell'altro $-1$, la dimostrazione però non la ricordo...
edit: due restrizioni

[dissonance]

Quel limite non esiste semplicemente perchè la funzione $f(x) = sinx$ è una funziona periodica.

Si, però secondo me è meglio dimostrarlo direttamente. Anche $f(x)=0$ è una funzione periodica però ammette tutti i limiti che vuoi. Tu mi dirai "e vabbé, ma è un controesempio troppo scemo" e io sarei pure d'accordo; ma a questo punto visto che è facile meglio dimostrarlo.

Invece di pensare a limiti destri e sinistri, che non c'entrano nulla in questo caso, usiamo le successioni. Se esistesse

$lim_{x\to+\infty}sin(x)=l$

dovrebbe essere, per ogni successione $a_n\to\+infty$,

$lim_{n\to\infty}sin(a_n)=l$.

Ma prendiamo le due successioni $a_n=2\pi n$ e $b_n=pi/2+2\pi n$: risulta che

$lim_{n\to\infty}sin(a_n)=0, \lim_{n\to\ infty} sin(b_n)=1$.

Quindi il limite non esiste.

[Orlok]

Penso che sia una di quelle dimostrazioni per assurdo, nel senso che:

Se per esempio esistesse il $\lim_{n\to +\infty}\ \sin n$ (stessa cosa di quello che hai scritto) e proviamo a chiamarlo $l$ significherebbe che

$\forall \varepsilon>0\ \exists n_\varepsilon\in \mathbb{N}\ :\ \forall n\ge n_\varepsilon\ \Rightarrow\ |\sin n -l|<\varepsilon$ ovvero che $l-\varepsilon<\sin n<l+\varepsilon$. Ma sappiamo che $-1<\sin n<1$ e quella relazione vorrebbe significare che $\forall \varepsilon>0$ che noi scegliamo ad arbitrio, deve accadere che $l-\varepsilon=-1$ e che $l+\varepsilon=1$ il ché significa che a seconda del valore di $\varepsilon$ il nostro $l$ deve "adattarsi di conseguenza. Ma per il Teorema dell'unicità del limite ciò è assurdo.


Non so se sia la dimostrazione ufficiale ma ci sono andato per logica.

Ops: non avevo visto che dissonance aveva risposto. Sorry

[pater46]

Per questa dimostrazione si sfrutta il teorema del limite delle successioni estratte.

IP: $ { a_n } \subset RR, exists lim_{oo} a_n = l in RR \cup { +- oo } $

TS: $ forall { a_{k_n} } \text{ estratta da } a_n \text{ risulta } lim_{oo} a_{k_n} = l$

Da questo teorema deduci che se due estratte di una stessa successione hanno limiti diversi, converrai con me che il limite della successione di partenza non esiste.

Dalla tua successioni originaria $a_n = sin n$ estrai:

$h_n = sin ( 2\pi n )$
$k_n = sin ( 2\pi n + \pi/2 )$

Hai che $lim_{oo} h_n = 0$ in quanto $ sin ( \pi n ) = 0 forall n in NN $, mentre
$lim_{oo} k_n = 1$ in quanto $k_n = 1 forall n in NN$.

Due estratte della successione originaria hanno limiti diversi, ergo il limite di $a_n$ non esiste.

[pater46]

Azz... neanche io avevo visto la risposta di dissonance :\

[avvogatto]

grazie a tutti

adesso ho capito

con riferimento al teorema delle successioni estratte suggerito da pater, è necessario usare una successione oppure è possibile usare anche una funzione per dimostrare che il limite non esiste?

[dissonance]

@pater: Intanto si parlava del limite della funzione di variabile continua $f(x)=sin(x)$, non della successione $sin n$. Ma se l'argomento fosse stato la successione, tu saresti in errore, precisamente lo stesso errore commesso da NOKKIAN80 in questo vecchio topic: https://www.matematicamente.it/forum/limite-t12213.html

Nota le risposte di Luca Lussardi e Fioravante Patrone.

P.S.: La parte che ti interessa inizia qui.

[pater46]

Scusa non hai detto tu stesso ( ed anche Fioravante in quel topic ) che tra limiti di successioni e limiti di funzioni non cambia poi molto?

Non capisco perchè la mia risposta è errata mentre la tua è giusta, quando non vedo differenze così sostanziali.. potresti spiegarmele? E' da tanto che non gioco con le successioni, forse per questo non noto niente.