Dimostrazione disuguaglianza trigonometrica

Messaggioda marti2401 » 17/06/2011, 14:15

Ciao a tutti!
Vi chiedo aiuto per dimostrare che per $ 0<t leq frac{pi}{3} $ vale la seguente disuguaglianza: $ sint*cost-t<0 $
Vi ringrazio in anticipo!
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Messaggioda prime_number » 17/06/2011, 14:22

Io studierei il comportamento della funzione guardando un po' la derivata (e prima di farla consiglio di scrivere $sin t \cdot cos t = (sin (2t))/2$).

Paola
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Messaggioda Gi8 » 17/06/2011, 14:22

Sfruttando la formula di duplicazione del seno ($sin(2x)=2sinx*cosx$) si ha
$1/2*sin(2t)-t<0<=> sin(2t)<(2t)$. A te il resto

Ps: comunque quella disuguaglianza vale anche per $t> pi/3$

edit: anticipato di poco :-)
Gi8
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Messaggioda Delirium » 17/06/2011, 14:25

Credo sia sufficiente notare che \( \displaystyle \sin t \cdot \cos t=\frac{\sin2t}{2} \) per poi concludere che \( \displaystyle \sin2t<2t \) .

EDIT: una strage.
Delirium
 

Messaggioda marti2401 » 17/06/2011, 14:29

Grazie mille per le risposte così tempestive.
Gi8 mi potresti spiegare anche brevemente come concludere, cioè come potrei far vedere che $ sin(2t)<2t $?
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Messaggioda prime_number » 17/06/2011, 14:34

Basta un disegno sul cerchio trigonometrico :)
$2t$ altri non è che l'arco sulla circonferenza, mentre il suo seno...

Paola
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Messaggioda chiaraotta » 17/06/2011, 15:26

Oppure per via geometrica .....
In un cerchio di centro $O$ e raggio $r$ considera un settore $AOB$ in cui $t = A\hat O B$ e $0 < t < \pi/2$. Proietta $A$ su $OB$ in $H$. Il triangolo $AOH$ è contenuto nel settore $AOB$ e quindi ha una superficie minore: $S_{AOH} < S_{AOB}$, oppure $S_{AOH} - S_{AOB} < 0$. A questo punto basta esprimere $S_{AOH}$ e $S_{AOB}$ in funzione di $r$ e $t$. Per quel che riguarda il triangolo $S_{AOH} = 1/2 * OH * AH = 1/2 * r * cost * r * sent = 1/2 * r^2 * sent * cost$. Per la superficie del settore si può scrivere una proporzione che lega superficie del settore $S_{AOB}$, superficie $S$ del cerchio e angoli al centro: $S_{AOB}/S = t/(2\pi)$. Da questa si ricava $S_{AOB} = t/(2\pi) * S = t/(2\pi) * \pi * r^2 = 1/2 * r^2 * t$. Dalla relazione $S_{AOH} - S_{AOB} < 0$, sostituendo le espressioni calcolate, si ha $1/2 * r^2 * sent * cost - 1/2 * r^2 * t < 0$ e, moltiplicando la disuglianza per $2/r^2$, si ottiene che $sent * cost - t < 0$.
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Messaggioda marti2401 » 17/06/2011, 15:40

Grazie veramente, siete gentilissimi. Scusate se chiedo troppo, ma ci sarebbe un modo per far vedere che sin(2t)<2t senza dover ricorrere alla circonferenza trigonometrica, cioè diciamo facendo calcoli?
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Messaggioda Gi8 » 17/06/2011, 19:53

Puoi dimostrare che, posto $f(x)=x-sin(x)$, si ha che $f(x)>0$ $AAx >0$
Suggerimento: sfrutta la derivata di $f$
Gi8
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