Domanda sui gruppi.

[francicko]

Sia $G$ un gruppo finito, ed $H$, e $K$, due suoi sottogruppi propri distinti, e tali che $HnnK=e$, inoltre risulti $|G|=|H|xx|K|$,tutto ciò implicherebbe che $G$ risulti isomorfo al gruppo prodotto diretto $HxxK$???Io ricordo se non sbaglio che se $G$ è un gruppo ed $H$ e $K$ gli unici suoi sottogruppi propri, ed $HnnK=e$ allora risulta
$G=HxxK$.
Resto in attesa di una risposta,grazie!

[mistake89]

No, devono essere entrambi normali in $G$. Oppure deve commutare $hk$ per ogni $h in H$ e $k in K$

Pensa a $ZZ_6$ e a $S_3$. Ovviamente non sono isomorfi. Hanno però lo stesso ordine, e in $S_3$ esiste un gruppo di ordine $2$ $H$, ed un sottogruppo di ordine $3$ $K$, che hanno ovviamente intersezione vuota.

Se le condizioni richieste fossero finite allora $ZZ_6 \cong S_3$, cosa assurda.

La condizione che manca è che $H,K$ siano normali in $S_3$, ma ciò non è vero.

[Martino]

Sia $G$ un gruppo finito, ed $H$, e $K$, due suoi sottogruppi propri distinti, e tali che $HnnK=e$, inoltre risulti $|G|=|H|xx|K|$,tutto ciò implicherebbe che $G$ risulti isomorfo al gruppo prodotto diretto $HxxK$???

Ha già risposto mistake. Aggiungo solo che se due sottogruppi sono normali e hanno intersezione banale automaticamente commutano puntualmente. Solo per fare ordine, enuncio il fatto:

Proposizione. Siano \( \displaystyle G \) un gruppo e \( \displaystyle H,K \) due suoi sottogruppi normali tali che \( \displaystyle H \cap K = \{1\} \) e \( \displaystyle \{hk\ |\ h \in H,\ k \in K\} =: HK=G \) . Allora la mappa \( \displaystyle H \times K \to G \) che manda \( \displaystyle (h,k) \) in \( \displaystyle hk \) è un isomorfismo di gruppi.

Io ricordo se non sbaglio che se $G$ è un gruppo ed $H$ e $K$ gli unici suoi sottogruppi propri, ed $HnnK=e$ allora risulta $G=HxxK$.

Questo è vero, ma in realtà puoi dire molto di più. Se un gruppo ammette due soli sottogruppi propri allora è per forza finito, ciclico di ordine \( \displaystyle pq \) con \( \displaystyle p,q \) primi distinti. Per vedere questo basta mostrare che \( \displaystyle G \) dev'essere ciclico, e questo segue dal fatto che \( \displaystyle G \) non può essere uguale all'unione dei suoi sottogruppi propri (nessun gruppo può essere scritto come unione di due sottogruppi propri: prova a dimostrarlo). Ed è facile dimostrare che un gruppo è ciclico se e solo se non coincide con l'unione dei suoi sottogruppi propri.