Equazione a coefficienti interi - SNS 1967

[elios]

"Si consideri l'equazione $x^5+a_1*x^4+a_2*x^3+a_3*x^2+a_4*x+a_5=0$ a coefficienti tutti interi.
Supponiamo che $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$ siano tutti divisibile per un assegnato numero intero primo $p>1$ e che $a_5$ non sia divisibile per $p^2$.
Dimostrare che l'equazione non ammette come soluzione alcun numero intero"

Io ho riscritto l'equazione in questo modo: $x^5+k_1*p*x^4+k_2*p*x^3+k_3*p*x^2+k_4*p*x+k_5*p=0$. Ipotizzo che abbia soluzioni intere, per arrivare alla conclusione che ciò è accettabile solo se $k_5$ è divisibile per $p$ (escluso per ipotesi dal problema). Allora,
$k_5*p= - (x^5+k_1*p*x^4+k_2*p*x^3+k_3*p*x^2+k_4*p*x)$
$k_5= - (x^5+k_1*p*x^4+k_2*p*x^3+k_3*p*x^2+k_4*p*x)/p$
$k_5= - (x^5/p + k_1*x^4 + k_2*x^3 + k_3*x^2 + k_4*x)$
Ovviamente $k_5$ deve essere un numero intero (essendo un fattore del coefficiente intero $a_5$), quindi $x^5/p + k_1*x^4 + k_2*x^3 + k_3*x^2 + k_4*x$ deve essere una quantità intera. Gli ultimi 4 addendi sono interi per ogni soluzione intera (come abbiamo ipotizzato che siano) quindi deve essere intero $x^5/p$. Affinché esso sia intero, $x^5$ deve avere come divisore $p$, cioè $x$ deve essere divisibile per $p$.
Se $x$ deve essere divisibile per $p$, allora $k_5= - (x^5/p + k_1*x^4 + k_2*x^3 + k_3*x^2 + k_4*x)$ è divisibile per $p$, cosa esclusa dall'ipotesi che $a_5$ non è divisibile per $p^2$.
Posso dedurre perciò che se $a_5$ non è divisibile per $p^2$, l'equazione non ammette soluzioni intere.



E' corretta?

[Paolo90]

Il teorema mi pare il cosiddetto criterio di irriducibilità di Eisestein.

[elios]

Credi che la mia dimostrazione sia accettabile?

[Morpheus 21]

La dimostrazione secono me non fa una grinza..... e poi non è troppo diversa da quella indicata nel link di Paolo90 !!!

Bravo.... carina come idea

[G.D.]

Molto probabilmente sono io che non ho capito la tua soluzione, ma a me non torna.

Io ho riscritto l'equazione in questo modo: $x^5+k_1*p*x^4+k_2*p*x^3+k_3*p*x^2+k_4*p*x+k_5*p=0$. Ipotizzo che abbia soluzioni intere, per arrivare alla conclusione che ciò è accettabile solo se $k_5$ è divisibile per $p$ (escluso per ipotesi dal problema).

Sono d'accordo.

Allora,
$k_5*p= - (x^5+k_1*p*x^4+k_2*p*x^3+k_3*p*x^2+k_4*p*x)$
$k_5= - (x^5+k_1*p*x^4+k_2*p*x^3+k_3*p*x^2+k_4*p*x)/p$
$k_5= - (x^5/p + k_1*x^4 + k_2*x^3 + k_3*x^2 + k_4*x)$
Ovviamente $k_5$ deve essere un numero intero (essendo un fattore del coefficiente intero $a_5$), quindi $x^5/p + k_1*x^4 + k_2*x^3 + k_3*x^2 + k_4*x$ deve essere una quantità intera. Gli ultimi 4 addendi sono interi per ogni soluzione intera (come abbiamo ipotizzato che siano) quindi deve essere intero $x^5/p$. Affinché esso sia intero, $x^5$ deve avere come divisore $p$, cioè $x$ deve essere divisibile per $p$.

OK.

Se $x$ deve essere divisibile per $p$, allora $k_5= - (x^5/p + k_1*x^4 + k_2*x^3 + k_3*x^2 + k_4*x)$ è divisibile per $p$...

E perché? Tu hai mostrato che, essendo $k_{5}$ intero, allora $p|x$ ove $x$ è la fantomatica soluzione intera dell'equazione. Cosa centra $k_{5}$?

[blackbishop13]

Se $x$ deve essere divisibile per $p$, allora $k_5= - (x^5/p + k_1*x^4 + k_2*x^3 + k_3*x^2 + k_4*x)$ è divisibile per $p$...

E perché? Tu hai mostrato che, essendo $k_{5}$ intero, allora $p|x$ ove $x$ è la fantomatica soluzione intera dell'equazione. Cosa centra $k_{5}$?

$k_5= - (x^5/p + k_1*x^4 + k_2*x^3 + k_3*x^2 + k_4*x)$ quindi se $p|x$ ne consegue che
$p|k_1x^4$ e $p|k_2x^3$ e $p|k_3x^2$ e $p|k_4x$ ed anche che $p^2|x^5$ ovvero $p|x^5/p$

quindi $p$ divide il secondo membro dell'equazione, e perciò divide anche il primo. ma se $p|k_5$ allora $p^2|a_5$ contro le ipotesi.

P.S. bella dimostrazione elios.

[G.D.]

OK. Tutto chiaro.
Thanks.

[giammaria]

Io vedo una soluzione così facile che probabilmente è sbagliata. Eccola:
Se x non è divisibile per p, sostituendolo nel primo membro si ottiene un numero non divisibile per p. Non può quindi valere zero, che è divisibile per ogni numero.
Se invece x è divisibile per p, sostituendolo notiamo che tutti i termini sono divisibili per $p^2$, tranne l'ultimo che lo è solo per p. Il primo membro è quindi del tipo p*A, dove A non è divisibile per p e quindi non è zero.
Tertium non datur.

[blackbishop13]

Io vedo una soluzione così facile che probabilmente è sbagliata. Eccola:
Se x non è divisibile per p, sostituendolo nel primo membro si ottiene un numero non divisibile per p. Non può quindi valere zero, che è divisibile per ogni numero.
Se invece x è divisibile per p, sostituendolo notiamo che tutti i termini sono divisibili per $p^2$, tranne l'ultimo che lo è solo per p. Il primo membro è quindi del tipo p*A, dove A non è divisibile per p e quindi non è zero.
Tertium non datur.

Non mi pare così tanto facile,provo a formalizzarla:

DIM. per assurdo: $EE x_0 in ZZ$ $/x_0^5 + a_1x^4 + a_2x^3 + a_3x^2 + a_4x + a_5=0$

I caso $p|x_0$ , $x_0=p*m$ con $m in ZZ$
$m^5p^5 +a_1m^4p^4 + a_2m^3p^3 + a_3m^2p^2 + p*k_4mp + p*k_5=0$

$p*[p*(m^5p^3 + a_1m^4p^2 + a_2m^3p + a_3m^2 + k_4m) +k_5]=0$ essendo $p!=0$ è vero solo se

$p*(m^5p^3 + a_1m^4p^2 + a_2m^3p + a_3m^2 + k_4m)=-k_5$ tutte quantità intere, quindi è possibile se e solo se

$p|k_5$ contrario alle ipotesi

II caso $p$ non divide $x_0$

$x_0^5 + p*k_1x^4 + p*k_2x^3 + p*k_3x^2 + p*k_4x + p*k_5=0$

$x_0^5= -p*(k_1x^4 + k_2x^3 + k_3x^2 + k_4x + k_5)$ tutte quantità intere, quindi è possibile se e solo se

$p|x_0^5$ quindi $p|x_0$ contro le ipotesi

Tertium non datur.

in effetti è un' ottima intuizione, ho cambiato solo i punti in cui dici che non può valere 0, che è divisibile per ogni numero, con un paio di veloci passaggi che non mi lasciano dubbi, ma del tutto analoghi.

[elios]

Se $x$ deve essere divisibile per $p$, allora $k_5= - (x^5/p + k_1*x^4 + k_2*x^3 + k_3*x^2 + k_4*x)$ è divisibile per $p$...

E perché? Tu hai mostrato che, essendo $k_{5}$ intero, allora $p|x$ ove $x$ è la fantomatica soluzione intera dell'equazione. Cosa centra $k_{5}$?

$k_5= - (x^5/p + k_1*x^4 + k_2*x^3 + k_3*x^2 + k_4*x)$ quindi se $p|x$ ne consegue che
$p|k_1x^4$ e $p|k_2x^3$ e $p|k_3x^2$ e $p|k_4x$ ed anche che $p^2|x^5$ ovvero $p|x^5/p$

quindi $p$ divide il secondo membro dell'equazione, e perciò divide anche il primo. ma se $p|k_5$ allora $p^2|a_5$ contro le ipotesi.

P.S. bella dimostrazione elios.

Esattamente quello che avrei risposto (scusate il mio silenzio, sono stata un po' in giro in queste due settimane)

PPS: grazie