equazione goniometrica

Messaggioda marcus112 » 30/06/2012, 18:40

Data l'equazione

$sin3x=cos(x-30°) $

si può osservare che l'equazione presenta funzioni e argomenti diversi;
in base alla classificazione fatta in alcuni libri: se gli argomenti non sono tutti uguali, $3x!=x-30°$,si procederà a renderli tutti uguali applicando le note formule (duplicazione etc) e poi si esprimeranno le diverse funzioni mediante una sola di esse.

Ebbene..il punto è: se trasformo $cos(x-30°)=sin(90°-x+30°)$ tutto chiaro, l'equazione si risolve facilmente (diventa elementare) e io non applico le note formule...ma se volessi risolvere questa equazione con le formule( in base a quanto detto prima) come posso procedere?
E come stabilire se usare le formule o la trasfomazione mediante gli angoli associati o complementari ? Non si potrà certamente procedere per tentativi...
marcus112
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Re: equazione goniometrica

Messaggioda chiaraotta » 30/06/2012, 20:56

E' insensato risolvere un'equazione di questo tipo usando formule di addizione, duplicazione e simili.
Però si può ....

Infatti
$sin(3x)=sin(2x+x)=sin(2x)*cos(x)+cos(2x)*sin(x)=$
$2*sin(x)*cos(x)*cos(x)+(cos^2(x)-sin^2(x))*sin(x)=$
$2*sin(x)*cos^2(x)+(cos^2(x)-sin^2(x))*sin(x)=$
$sin(x)*(3*cos^2(x)-sin^2(x))=$
$sin(x)*(sqrt(3)*cos(x)-sin(x))(sqrt(3)*cos(x)+sin(x))$
e
$cos(x-30°)=cos(x)*cos(30°)+sin(x)*sin(30°)=$
$sqrt(3)/2*cos(x)+1/2*sin(x)=1/2*(sqrt(3)*cos(x)+sin(x))$.

Per cui
$sin(3x)=cos(x-30°)->$
$sin(x)*(sqrt(3)*cos(x)-sin(x))*(sqrt(3)*cos(x)+sin(x))=1/2*(sqrt(3)*cos(x)+sin(x))->$
$(sqrt(3)*cos(x)+sin(x))*[sin(x)*(sqrt(3)*cos(x)-sin(x))-1/2]=0->$
$(sqrt(3)*cos(x)+sin(x))=0 uu [sin(x)*(sqrt(3)*cos(x)-sin(x))-1/2]=0$
Da cui
$(sqrt(3)*cos(x)+sin(x))=0->tan(x)=-sqrt(3)->x=-pi/3+k pi$,
$[sin(x)*(sqrt(3)*cos(x)-sin(x))-1/2]=0->$
$sqrt(3)*sin(x)*cos(x)-sin^2(x)-1/2*sin^2(x)-1/2*cos^2(x)=0->$
$3/2sin^2(x)-sqrt(3)sin(x)*cos(x)+1/2cos^2(x)=0->$
$3*tan^2(x)-2sqrt(3)*tan(x)+1=0->$
$(sqrt(3)tan(x)-1)^2=0->tan(x)=sqrt(3)/3->x=pi/6+kpi$.
Quindi le soluzioni sono
$x=-pi/3+kpi vv x=pi/6+k pi$.
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Re: equazione goniometrica

Messaggioda marcus112 » 01/07/2012, 09:08

Grazie per la collaborazione....

data l'equazione $sinx=sin2x$ (in questo caso, per esempio usando la formula della duplicazione è fatta),

mi si chiede di risolverla ricordando gli angoli associati e gli angoli complementari;

Come dicevi tu è, anche in questo caso, insensato, ma come si deve procedere usando solo gli angoli associati e complementari?
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Re: equazione goniometrica

Messaggioda chiaraotta » 01/07/2012, 09:41

Se $sin(alpha)=sin(beta)$, allora o $alpha=beta+2kpi$, oppure $alpha=pi-beta+2kpi$.
Nel caso specifico
$sin(x)=sin(2x)->x=2x+2kpi vv x=pi-2x+2kpi$.
Da cui
$x=2kpi vv x=pi/3+2kpi/3$.
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Re: equazione goniometrica

Messaggioda marcus112 » 01/07/2012, 11:51

Scusa ma ho un dubbio..

Nel caso specifico
$sin(x)=sin(2x)->x=2x+2kpi vv x=pi-2x+2kpi$.
Da cui
$x=2kpi vv x=pi/3+2kpi/3$ Perfetto!

Ma se la stessa equazione la risolvo appicando la formula di duplicazione:

$sinx=sin2x=>sinx(1-2cosx)=0$
ottengo $x=kpi^^x=+-pi/3+2kpi$
Ma i risultati non sono diversi?
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Re: equazione goniometrica

Messaggioda @melia » 01/07/2012, 12:27

Prova a disegnare le soluzioni del primo giro, sia per il primo che per il secondo risultato: scoprirai che sono solo modi diversi di scrivere la stessa cosa.
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