equazione particolare in seno e coseno

Messaggioda login » 17/03/2011, 12:17

salve se io ho $sinx=cosy$ è giusto dire che questa uguaglianza è verificata se $ y=((\pi)/2-x)$ e $y=((3/2)(\pi)+x)$ perchè negli esercizi applicando la prima soluzione una soluzione me la trovo :-D , ma la seconda sembra non essere corretta eppure non mi sembra sbagliata... :?

e poi se per esempio volessi risolvere questa? $3sinx=4cosy$
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Messaggioda adaBTTLS » 17/03/2011, 12:28

$cos(-y)=cos(y)$

$3/2 pi +x=2pi-pi/2+x=2pi+(x-pi/2)$

$x-pi/2= -(pi/2-x)$

quindi la soluzione è corretta, bisogna vedere però, dato che non hai preso in esame la periodicità, in quale "giro" si trova.
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Messaggioda login » 17/03/2011, 12:47

non ho capito perchè hai scritto cos(-y) al posto di senx, x e y sono due angoli qualsiasi diversi :? :? per quanto riguarda la periodicità avevo fatto in questo modo $ y=((\pi)/2-x)+2k\pi$ e $y=((3/2)(\pi)+x)+2k\pi$ la soluzione è ancora corretta?
in teoria se applico queste "formule" negli esercizi di questo tipo sarebbe corretto?
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Messaggioda adaBTTLS » 17/03/2011, 19:56

poiché $cos(-y)=cosy$ sempre, scrivere $sinx=cosy$ è equivalente a $sinx=cos(-y)$, e, se $y=pi/2-x$, tu hai scritto una volta $cosy$ ed un'altra $cos(-y)$.
questo per chiarire il mio intervento precedente.

poi, per lo stesso motivo, visto che l'equazione ha $y$ come argomento del coseno, certo che se $y=pi/2-x$ è soluzione allora lo è anche quella con $2kpi$, ma anche $x$ compare come argomento del seno, e dunque se $sinx=cosy$ allora anche $sin(x+2kpi)=cosy$.
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Messaggioda login » 18/03/2011, 09:43

Ho capito il tuo intervento ma in definitiva il metodo che ho applicato non andava bene? Insomma in che modo dovrei tener conto della periodicità dell'argomento del seno? Mi scuso se insisto ma proprio non capisco come risolvere un'equazione di questo tipo...
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Messaggioda adaBTTLS » 18/03/2011, 19:25

i miei calcoli miravano proprio a dire che le soluzioni trovate da te sono corrette.
la seconda, quella che dici che non si trova tra le soluzioni scritte nei testi, in realtà è opposta della prima.
la possibilità di esprimere le soluzioni con o senza la variabilità dipende dal contesto.

vediamo di fare prima un discorso parziale, a partire dalla tua domanda iniziale.
proviamo a riprendere le tue soluzioni:

$y=(pi/2-x)$ e $y=(3/2pi+x)->y=2pi-pi/2+x->y=2pi-(x-pi/2)$

se utilizziamo la variabilità del coseno possiamo anche scrivere in maniera più compatta le due soluzioni insieme: $y=+-(pi/2-x)+2kpi$

proviamo ora a ragionare sulla variabilità del seno e vediamo che cosa otteniamo se al posto di $x$ mettiamo $x+2hpi$:

$y=+-[pi/2-(x+2hpi)]+2kpi=+-[pi/2-x-2hpi]+2kpi=+-(pi/2-x)-+2hpi+2kpi=+-(pi/2-x)+2pi(k-+h)$ e, data la variabilità di $h,k in ZZ$, $y=+-(pi/2-x)+2zt, z in ZZ$

non so se ti ho chiarito qualche dubbio e/o te ne ho creati degli altri, comunque prova a riflettere e cerca almeno di dare una risposta alla soluzione con $+-$.

certo, questo dipende da una proprietà del coseno, quella che ti ho richiamato alcuni post fa, cioè $cos(-y)=cosy$. ma il discorso in realtà non si esaurisce qui, perché analogamente saprai che $sin(pi-x)=sinx$, quindi puoi anche sostituire $pi-x$ alla $x$.

se ti va, prova ad andare avanti. io per ora mi fermo qui. ti faccio notare solo che $(pi-x)+(3/2pi+x)=2pi+pi/2$ ...

alla prossima. ciao.
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Messaggioda login » 21/03/2011, 16:28

che stupida che sono stata! hai perfettamente ragione la seconda soluzione è opposta alla prima....l'altra condizione è con il più e senza 3/2....grazie per avermelo fatto notare con pazienza :-D :-D
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Messaggioda adaBTTLS » 21/03/2011, 21:22

prego!
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