equazioni trigonometriche

Messaggioda giogiomogio » 27/11/2012, 15:16

Salve, ho un piccolo problema nel risolvere alcune delle seguenti equazioni trigonometriche:
e.
$3sin^2x-2sinx*cosx-cos^2x=0$
f.
$sqrt(3)*sinx*cosx-cos^2x=0$
g.
$sin([pi]/[6]-x)=-cos(5x)$

dalla "a" alla "d" le ho risolte senza problemi,
ma le altre 3 mi danno problemi....
esempio nella "e" se divido per $cos(x)$ ovviamente dopo aver scritto $sin^2(x)$ come $1-cos^2(x)$ non mi esce perche mi rimane la tangente e un coseno...
quindi non penso sia la strada giusta...
e per le altre è un po la stessa cosa ...
non riesco mai ad avere o solo $sin$ o solo $cos$ o solo $tan$
qualcuno mi potrebbe dare qualche dritta?
Grazie mille

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Ti chiedo cortesemente di inserire in futuro i testi degli esercizi e non delle immagini, perché i siti su cui si depositano le immagini le rendono disponibili solo per un po' di tempo, fra qualche mese questa discussione conterrà solo le risposte, senza le domande
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Re: equazioni trigonometriche

Messaggioda theras » 27/11/2012, 15:50

Beh,nella (e) è certamente lecito,nel nostro contesto di risoluzione,dividere per $cos^2 x$
(ciò perchè tale ente,ai fini della ricerca delle soluzioni di quell'equazione trigonometrica,è considerabile come non nullo,
perchè se lo fosse avremmo $x=(2k+1)pi/2$ per qualche $k inZZ$ e pertanto,qualunque siano tali $k$,
sostituendo nel testo dell'esercizio assegnato avremmo $3=0$..):
poi direi che è pure opportuno..
In quella dopo hai già provato a raccogliere qualche fattore comune?
Te lo dico perchè la legge di annullamente del prodotto in $RR$ vale indipendentemente dalla tipologia dei fattori sui quali si applica..
Sull'ultima è forse il caso che tu rifletta:
certo è che,se riesci a trasformarla in un'equazione nella quale compare la medesima funzione trigonometrica,
i metodi risolutivi standard delle equazioni trigonometriche elementari plotrebbero esserti utili..
Buono studio:
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Re: equazioni trigonometriche

Messaggioda giogiomogio » 28/11/2012, 14:26

Grazie mille, ci sono riuscito!
ma solo perche mi hai dato tu l'aiutino per ognuna :D senò ero ancora qui a pensarci.

e.
$[3sin^2x]/[cos^2x]-[2sinx*cosx]/[cos^2x]-[cosx]/[cos^2x]=0$
$3([sinx]/[cosx])^2-[2sinx]/[cosx]-1=0$
$3*tan^2x - 2tanx - 1 = 0$
$3m^2-2m-1=0$

$x=[pi]/[4]+kpi$
$x=arctan(-[1]/[3])+k*pi$ dove $k$ appartiene all'insieme z


f.
$cosx(sqrt(3)* sinx-cosx)=0$
$cosx=0$
$x=[pi]/[2]+kpi$ dove $k$ appartiene all'insieme z
$sqrt(3)* sinx-cosx=0$
$sqrt(3)*tanx=1$
$tanx=[sqrt(3)]/[3]$
$x=[pi]/[6]+kpi$ dove $k$ appartiene all'insieme z

g.
$-cos(5x)=cos([1]/[3]pi+x)$
$cos(pi+5x)=cos([1]/[3]pi+x)$
1.
$4x=-[2]/[3]pi+k2pi$
$x=-[1]/[6]pi+[kpi]/[2]$ dove $k$ appartiene all'insieme z
2.
$6x=-[1]/[3]pi-pi+k2pi$
$x=-[2]/[9]pi+[kpi]/[3]$ dove $k$ appartiene all'insieme z


C'è solo una cosa che non ho ancora ben capito, e tu me l'hai gia spiegata prima di darmi qualche dritta nel risolvere queste 3 equazioni trigonometriche.
In pratica non ho ben capito quando posso e quando non dividere, per esempio, per $cos^2x$ perchè rischio di perdere soluzioni. Cioe non ho capito come capire se sto perdendo soluzione o meno data una certa operazione...
Grazie ancora.
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Re: equazioni trigonometriche

Messaggioda theras » 28/11/2012, 17:58

Provo a cogliere due piccioni con una fava allora,Gio,e ti chiedo se è legittimo dire che l'uguaglianza(una a caso :-D )
$3sen^2 x-2sen x cos x-cos^2 x=cos^2 x(3tg^2 x-2tgx-1)$ (1)è un'identità in tutto $RR$;
non dubito che la tua risposta non sarà affermativa,
ed anzi mi dirai che in compenso lo è in $bigcup_(k in ZZ)(-pi/2+kpi,pi/2+kpi)$($=RR setminusbigcup_(k inZZ){k*pi/2}$..):
ma cosa c'entra questo,con la tua domanda?
Beh..visto che i multipli dispari di $pi/2$ non soddisfano di sicuro la tua equazione,come deducibile per sostituzione "diretta",
ai fini della sua risoluzione possiamo riscriverla ponendo uguale a $0$ il II° membro della (1);
a quel punto il primo fattore,nell'insieme cui siamo vincolati a restringerci in questo contesto,sarà certo non nullo,
e la ricerca di quelle soluzioni si ricondurrà a determinare gli "zeri" del II°fattore(come d'altronde hai ben fatto..):
oppure,se preferisci,pensa solamente d'aver inteso $RR$ come unione tra tutti i multipli dispari di $pi/2$ e quei numeri reali che non lo siano,
per poi notare che nel I° componente di siffatta partizione dei reali non ci sono soluzioni della tua equazione
(lo dici sempre per sostituzione diretta..)
mentre nel II° ve ne sono e possono beccarsi dividendone entrambi i membri per $cos^2 x$
(a quel punto legittimimamente perchè,nel sottoinsieme di $RR$ al quale abbiamo ristretto la nostra attenzione,
tale ente è sempre non nullo..)!
Mi spiego meglio con un esempio,dai;
se ad esempio volessi risolvere l'equazione $sen^2 x-sen xcos x=0$ (2),
potresti procedere come nell'esercizio (f) oppure osservare che,suddiviso $RR$ nella partizione $A=bigcup_(k in ZZ){k*pi/2},B=RR setminus A$
(certo non scelta a caso..),
ogni elemento di $a$ soddisfa la (2),mentre quelli di B che ne costituiscono soluzione sono tutte e sole le soluzioni dell'equazione $tg^2 x-1=0$:
con entrambi i procedimenti risolutivi(di volta in volta sarai tu,con l'esperienza,a scegliere il più opportuno!)
avrai che $S=bigcup_(k in ZZ){k*pi/2,pi/4+k*pi,-pi/4+kpi}$..
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Re: equazioni trigonometriche

Messaggioda giogiomogio » 03/12/2012, 18:16

Grazie mille, ora ho capito :)
ho provato ad andare un pizzico oltre e, mi sono accorto che provando ad ignorare il fatto che perdiamo una soluzione alla fine (ovviamente, otteniamo almeno una soluzione sbagliata). Ma secondo te dimmi se è una buona cosa fare questo procedimento:
allora... mi accorgo che effettivamente il valore di $x$ aihmè è una soluzione... ma che se portata al denominatore mi da uno zero secco e quindi è un'operazione impossibile.... a questo punto io continuo ma mi marcho sul foglio che una di quelle soluzioni è corretta e che, continuando la sto effettivamente escludendo come se non fosse successo nulla. quando finisco la mia equazione... inserisco il valore di $x$ che mi sono marcato sul foglio, che cmq è una soluzione corretta... e poi verifico quale delle soluzioni che ho trovato continuando a eseguire la mia operazione sono effettivamente corrette...
cosa te ne pare ?
ho provato ad utilizzare questo procedimento con questa equazione:
$sin^2(x)-cos^2(x) = sin(x)+cos(x)$
alla fine ho trovato (dividendo per $cos(x)$:
$x = 0$
$x = 180$
a questo punto ho inserito la soluzione che ho perso per strada ossia $x=90$
a questo punto ho
$x = 0$
$x = 180$
$x = 90$
ho verificato la soluzione $x=180$ è corretta e me la sono tenuta, poi ho verificato $x=0$ incorretta e l'ho scartata....
alla fine ho ottenuto
$x=[pi]/[2]+k2pi$
$x=pi+k2pi$
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Re: equazioni trigonometriche

Messaggioda @melia » 03/12/2012, 18:32

L'equazione che hai proposto $sin(x)^2-cos(x)^2 = sin(x)+cos(x)$ mi pare mooooolto strana, sei sicuro del testo? Non è che, per caso, il testo fosse $sin^2 x-cos^2 x = sin x + cos x$
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Re: equazioni trigonometriche

Messaggioda theras » 03/12/2012, 19:13

Ma che figure mi fai fare,Gio :-D ?
Sistema quel testo come t'ha suggerito la Prof. Sara,dai :wink: !
Per rispondere al tuo quesito mi sà che hai ben capito una parte dello spirito di quanto t'avevo scritto prima
(ossia cercare le soluzioni,a meno d'eventuali periodicità,in partizioni "comode" di $RR$..),
ma non l'altra:
le tue considerazioni devono essere lecite,certo(e con quella distinzione usata per benino lo sono),ma anche opportune!
Mi spiego meglio:
seguendo il mio consiglio tu,volendo dividere per $cos x$ entrambi i membri della tua uguaglianza,
ti sei "conservato" per la tua "prova del nove finale" il punto $x_1=pi/2$
(perchè,$x_2=3/2pi$ ti stava antipatico :D ?)..
Fin quì siamo d'accordo,ma sei certo sia utile quella divisione?
Come ha fatto a portarti a dire,una volta effettuatala,
che $x=0$ ed $x=pi$ sono soluzioni dell'equaz.trigonometrica in questione?
Mi odora d'erroruccio,questa conclusione,e non credo di potermi sbagliare:
ad ogni modo posta come ci sei arrivato,se puoi,che ne riparliamo..
In ogni caso,erroruccio o non erroruccio,t'è saltata fuori un $x=pi$ che in effetti è "buona",e te la sei "tenuta"
(d'altronde non avevi motivo di non farlo perchè $pi$ non era tra i valori di $x$ che t'impediva quella divisione,
ma neanche $0$ se ci pensi..),
e poi le hai "aggiunto" alla fine quella scartata all'inizio;
e quì,ti ripeto,mi troveresti pure d'accordo,
sopratutto se avessi pure detto che "scarti" definitivamente $x=3/2pi$ perchè non soddisfa di certo il testo dell'esercizio:
ma il punto è che quel metodo da me suggerito,pur lecito se esposto come ho fatto,non sempre è opportuno
(diciamo che la sua bontà dipende da come puoi "rieditare" l'equazione che di volta in volta affronterai..),
tanto è vero che ti sei perso quell'insieme delle soluzioni del tipo $x_3=-pi/4+k pi$ che lascio a te il piacere(e l'onere..)
di capire da dove vengon fuori!
Fà un fischio(ma il più tardi possibile..),se proprio avrai bisogno,
che quì gente in gamba e di buona volontà non ne manca:
saluti dal web.
Edit:corretta svista nella digitazione dell'insieme di soluzioni che,con comune abuso di linguaggio,
ho indicato con $x_3$..
Ultima modifica di theras il 03/12/2012, 20:40, modificato 1 volta in totale.
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Re: equazioni trigonometriche

Messaggioda giogiomogio » 03/12/2012, 19:40

scusatemi davvero ho scritto male l'equazione ... accidenti siete tutti dei gatti con i numeri, non perdete un colpo! che invidiaaaa potessi io palleggiare cosi i numeri ... ma aihmè ne ho di strada da fare...
mi sono fregato con le mie stesse mani comunque... perche ebbene come hai dettu tu theras, mi sono fatto la fossa da solo perdendo ben 2 soluzioni....
vi espongo il mio procedimento:
$sin^2x-cos^2x=sinx+cosx$
$(sinx+cosx)(sinx-cosx)=sinx+cosx$
a questo punto mi sono detto: "cià, dividiamo tutto per $sinx+cosx$ che male fa??? ebbene mi ha fatto moooolto male perche proprio qui ho perso le mie 2 soluzioni.... infatti risolvendo $sinx+cosx=0$ mi esce $x=-[pi]/[4]$ e $x=[3]/[4]pi$
se provo ad inserirle guarda un pò sono soluzione! io non me n'ero accorto e da li in poi le ho tagliate fuori... però continuando con il mio procedimento e tenendo da parte gia queste 2 prime soluzioni (cosa che prima non ho fatto) ti mostro come ho continuato:

$[(sinx+cosx)(sinx-cosx)]/[sinx+cosx]=[sinx+cosx]/[sinx+cosx]$

$sinx-cosx=1$
$(sinx-cosx)^2=1^2$
$sin^2x-2sinx*cosx+cos^2x=1$
$-2sinx*cosx+1=1$
$-2sinx*cosx=0$
qui divido per $cosx$ e mi tengo da parte il $[pi]/[2]$
in quanto è soluzione e ottengo:
$-2sinx=0$
$sinx=0$
riporto subito le soluzioni messe da parte
$x=-[pi]/[4]$

$x=[3]/[4]pi$

$x=[pi]/[2]$
ora risolvo $sinx=0$ e ottengo $x=pi$ e $x=0$
alla fine ho:
$x=-[pi]/[4]$

$x=[3]/[4]pi$

$x=[pi]/[2]$

$x=pi$

$x=0$
scarto lo zero e mi rimane:
$x=-[pi]/[4]$

$x=[3]/[4]pi$

$x=[pi]/[2]$

$x=pi$
Ultima modifica di giogiomogio il 03/12/2012, 20:51, modificato 1 volta in totale.
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Re: equazioni trigonometriche

Messaggioda @melia » 03/12/2012, 20:29

Nelle equazioni non devi MAI dividere per un'espressione contenente l'incognita se prima non hai accertato se questa è soluzione. Di solito si raccoglie, ma può capitare che si debba dividere, solo che prima di farlo accerti se è soluzione, in caso di risposta negativa basta dire siccome è $!=0$ posso dividere, in caso di risposta positiva la metti tra le soluzioni e poi cerchi le altre soluzioni ponendola $!=0$.
Nell'esercizio in oggetto
$sen^2 x-cos^2 x= sen x + cos x$ dopo aver fatto la scomposizione, porti tutto a primo membro e raccogli il fattore comune ottieni $(sen x + cos x)(sen x - cos x -1) =0$ per la legge di annullamento del prodotto ottieni le due equazioni
$sen x + cos x =0$ e $sen x - cos x -1=0$
Hai risolto correttamente la prima, ma nella seconda mi pare che tu abbia fatto un po' di confusione.
$sen x - cos x =1$ se elevi alla seconda aggiungi anche l'equazione $sen x - cos x = -1$ che nel nostro esercizio non c'è.

Si tratta di un'equazione lineare che ha vari metodi di soluzione, il mio preferito è quello di moltiplicare tutto

per $sqrt2/2$, ottieni $sqrt2/2sen x - sqrt2/2cos x =sqrt2/2$ cioè $sen x cos (pi/4) -sen (pi/4) cos x =sqrt2/2$ da cui

$sen(x-pi/4) =sqrt2/2$, il seno vale $sqrt2/2$ a $pi/4$ e a $3/4 pi$ perciò

$x-pi/4 = pi/4 +2kpi => x=pi/2 +2k pi$ e

$x-pi/4 = 3/4 pi+2kpi => x=pi +2k pi$
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Re: equazioni trigonometriche

Messaggioda theras » 03/12/2012, 21:16

A quanto t'ha appena detto la Prof.ssa voglio aggiungere che è bellina davvero l'idea di quadrare quei due membri
(hai "visto una mossa avanti",come si dice in questi casi..),
ma è rischiosa per la potenziale introduzione d'un "corpo estraneo" che da essa ne deriva
(nel caso specifico le soluzioni di $sen x-cos x=-1$ cui accennava Sara..);
fermo restante che quello da lei suggerito è,tra quelli che conosco,
il metodo "standard" più generale ed "elegante" per risolvere le cosidette equazioni lineari in seno e coseno
(anche per le sue conseguenze,ma pure per ciò che lo giustifica,di cui farai scoperta in altri campi della Matematica..),
i.e. quelle del tipo (1)$a sen x+b cos x=c$(*),
sento il dovere d'omaggiare la tua pensata dicendoti che in questa specifica equazione è ottima,
a patto d'escludere eventuali soluzioni di $(sen x+ cos x)^2=1^2$ che rendono negativo il I° membro di $senx +cos x=1$
(come d'altronde ad esempio escludi,quando cerchi le soluzioni di $x+1=-3$ (2),
quelle di $(x+1)^2=(-3)^2$ che rendon positivo il I°membro della (2),
e più in generale dici che,ai fini della risoluzione d'una qualunque equazione,
è legittimo quadrarne i due membri solo dopo aver imposto,se non lo sono già di loro,che siano concordi..):
è la ragione per la quale và scartato quel $3/2pi$ "cattivo" che t'è stato da subito,
anche se a priori non ne avevi ragione,antipatico :) !
Saluti dal web.
(*)Quel procedimento,per inciso,si generalizza dividendo lecitamente ambo i membri della (1) per $sqrt(a^2+b^2)$.
Edit:
Gio,potresti cambiare gli esercizi del post iniziale sostituendoli col formato tipico?
Per te è una piccola perdita di tempo,ma ad altri sarebbe utile:
ti ringrazio anticipatamente..
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