Esercizi sul gruppo fondamentale

[studentessa CdLmate]

Ciao a tutti.. ho provato a fare questi esercizi ma non so se sono giusti e vorrei dei vostri giudizi..

Si considerino in $RR^3$ le rette $r:x=y=0$ e $s:z=o, x=1$. Sia $X=RR^3-{r U s}$ il sottospazio di $RR^3$ con topologia indotta da quella euclidea .

i)Calcola il gruppo fondamentale di $X$

Io ho visto $X=pi - {ret ta x=1} xx pi_1 - {ret ta y=0} xx pi_2 $ dove $pi_i$ sono i piani orizzontali e verticali dello spazio. allora il gruppo fondamentale è isomorfo al prodotto dei gruppi fondamentali. Ma le tre componenti sono tutti convessi in $RR^2$ quindi contrattili e perciò il loro gruppo fondamentale è quello banale.. e cosi è pure per lo spazio $X$ iniziale.. giusto??

ii) calcola il gruppo fondamentale di base $p_0 in S_1$ di $S_1 uu S_2$ dove $S_1 $ ed $S_2 $ denotano due circonferenze nel piano euclideo.

Se le circonferenze sono esterne allora il gruppo fondamentale è quello di una sola circonferenza..cioè quella che contiene $p_0$, ed è isomorfo a $ZZ$.

Se le circonferenze sono tangenti allora ho un bouquet di 2 circonferenze ed ho il gruppo fondamentale banale.

Se sono secanti cosa posso dire?? .. ho pensato di usare Van Kampen ma l'intersezione non è connessa per archi..

I ragionamenti che ho fatto sono corretti??

Grazie mille =)

[maurer]

Allora, il primo punto è sbagliato... come giustifichi quella relazione che hai scritto? E' falsa, ma l'unico motivo che mi viene in mente è una questione di dimensione...
Dunque, se le due rette fossero parallele, l'esercizio sarebbe facile, perché potresti ricondurti ad un piano privato di due punti mediante un retratto di deformazione decisamente elementare (ricorda che se un sottospazio è retratto di deformazione dello spazio in cui è contenuto, allora i due sono omotopicamente equivalenti, quindi hanno gli stessi gruppi fondamentali). In questo caso la situazione è leggermente più complessa... tuttavia leggo più sotto che hai Van Kampen tra le tue armi, quindi potresti prendere in considerazione di applicare Van Kampen ai semispazi \( \displaystyle X_1 : x \ge \frac{1}{2} \) e \( \displaystyle X_2 : x \le \frac{1}{2} \) . Ora, il gruppo fondamentale di uno di quei semispazi è quello di un piano senza un punto per lo stesso motivo di prima, mentre l'intersezione è un piano, quindi contrattile, quindi ha gruppi fondamentali nulli. Il teorema di Van Kampen ci dice che \( \displaystyle \pi_1(X,x_0) \) è il push-out di \( \displaystyle \pi_1(X_1,x_0) \leftarrow \pi_1(X_1 \cap X_2,x_0) \rightarrow \pi_1(X_2,x_0) \) , ossia

(per ogni coppia di frecce \( \displaystyle f,g \) che fanno commutare il diagramma esiste unica \( \displaystyle h \) tale che il diagramma commuti). Tuttavia \( \displaystyle \pi_1(X_1 \cap X_2,x_0) = 0 \) , e il push-out sull'oggetto iniziale è il coprodotto, quindi otteniamo \( \displaystyle \pi_1(X,x_0) = \pi_1(X_1,x_0) * \pi_2(X_2,x_0) \) dove con questo intendo il prodotto libero dei due gruppi (probabilmente ti è stato detto tutto con parole diverse, ma la sostanza è sempre questa; se ti crea ansia, salta il ragionamento e considera solo la conclusione a cui sono arrivato; il tuo teorema di Van Kampen dovrebbe implicare la validità di quanto ho scritto).

Bene, ma chi è \( \displaystyle \pi_1(X_1,x_0) \) ? Come già detto, è il primo gruppo fondamentale di un piano privato di un punto. Siccome abbiamo un retratto di deformazione di \( \displaystyle \mathbb R^2 \setminus \{\mathbf 0\} \) su \( \displaystyle \mathcal S^1 \) , segue che \( \displaystyle \pi_1(X,x_0) = \mathbb Z \) . Pertanto, \( \displaystyle \pi_1(X,x_0) \) è il gruppo libero su due generatori, ossia il primo gruppo fondamentale di una figura otto.

Faccio una pausa per osservare che ti sarebbe dovuta venire in mente fin da subito la figura otto. Purtroppo non sono capace a fare disegni, ma il motivo è chiaro, no? Circonda ciascuna delle due rette con una piccola circonferenza contenuta in un piano ortogonale alla retta stessa, poi allarga il raggio di entrambe fino a quando non diventano tangenti, e ottieni una figura otto, seppure leggermente deformata. Quindi è la nostra intuizione geometrica che ci dice che il risultato è il gruppo fondamentale della figura otto, ossia il gruppo libero su due elementi; quello che ho scritto è il modo più naturale per ricondursi alla situazione in cui si sanno fare i conti.

Se le circonferenze sono tangenti allora ho un bouquet di 2 circonferenze ed ho il gruppo fondamentale banale.

Veramente, il ragionamento che ho fatto sopra dimostra molto bene che il gruppo fondamentale di un bouquet di due circonferenze (che è quello che chiamo figura otto) è il gruppo libero su due elementi...

Se sono secanti cosa posso dire?? .. ho pensato di usare Van Kampen ma l'intersezione non è connessa per archi..

Bello! E' un esercizio che vedo per la prima volta... è divertente, quindi non voglio rovinarti completamente il gusto di risolverlo. Ti guido, però: Van Kampen è la strada giusta, ma devi avere un po' di fantasia su chi applicarlo! (la risposta è \( \displaystyle \mathbb Z * \mathbb Z * \mathbb Z \) , il gruppo fondamentale di un bouquet di tre circonferenze, se non ho sbagliato i conti)

P.S. Ah, magari ti do un'altra indicazione, che altrimenti potrebbe ancora essere difficile per chi inizia a fare queste cose... Van Kampen va applicato due volte!

[maurer]

Vuoi un altro esercizio divertente? Prova a calcolare il primo gruppo fondamentale di \( \displaystyle \mathbb R^3 \) meno due rette che si incontrano in un punto! Questo potrebbe essere piuttosto difficile, però... (a meno che non ci sia un modo intelligente diverso da quello che ho pensato io!). Enjoy!

[studentessa CdLmate]

per quanto riguarda l'esercizio sulle circonferenze tangenti ho osservato che ogni cammino di base $p_0$ può essere scritto come prodotto di cammini che possono stare o in $S_1$ oppure in $S_2$ e quindi il gruppo fondamentale è il prodotto libero su due elementi.
allora $pi(S_1 uu S_2,p_0) \sim ZZ**ZZ$.

Per quelle secanti ho scritto il mio insieme $X=S_1 uu S_2$ come unione degli aperti $V_1$ e $V_2$ ottenuti da $S_1$ più la semicirconferenza $S_2$ e da $S_2$ più la semicirconferenza $S_1$. La loro intersezione è quindi costituita dalle due semicirconferenze che si intersecano in $p_0$ e $p_1$.

Per calcolarmi $pi(V_1,p_0)$ ho visto quest'ultimo come unione di $S_1-p_1$ e la semicirconferenza $S_2$. Entrambi però hanno gruppo fondamentale banale poichè $S_1-p_0$ ha come unico cammino chiuso quello banale (dato che non posso completare il giro) e lo stesso vale per l'arco di semicirconferenza.

Facendo lo stesso ragionamento per $V_2$ concludo che $pi(S_1 uu S_2, p_0)$ è ${0}$.. se non mi avessi scritto che è invece quello libero generato da tre elementi questa sarebbe stata la mia risposta.. dov'è che sbaglio??

Quello sulle rette dello spazio ancora lo devo vedere bene

Grazie mille comunque =)

[maurer]

per quanto riguarda l'esercizio sulle circonferenze tangenti ho osservato che ogni cammino di base $p_0$ può essere scritto come prodotto di cammini che possono stare o in $S_1$ oppure in $S_2$ e quindi il gruppo fondamentale è il prodotto libero su due elementi.
allora $pi(S_1 uu S_2,p_0) \sim ZZ**ZZ$.

Guarda, mi sembra giusto, ma perché non usare Van Kampen anche qui? Il tuo spazio è \( \displaystyle S_1 \cup S_2 \) con \( \displaystyle S_i \) circonferenza e \( \displaystyle S_1 \cap S_2 = \{p_0\} \) . Pertanto Van Kampen assicura immediatamente che \( \displaystyle \pi_1(S_1 \cup S_2,p_0) = \pi_1(S_1,p_0) * \pi_1(S_2,p_0) = \mathbb Z * \mathbb Z \) .

Per quelle secanti ho scritto il mio insieme $X=S_1 uu S_2$ come unione degli aperti $V_1$ e $V_2$ ottenuti da $S_1$ più la semicirconferenza $S_2$ e da $S_2$ più la semicirconferenza $S_1$. La loro intersezione è quindi costituita dalle due semicirconferenze che si intersecano in $p_0$ e $p_1$.

Per calcolarmi $pi(V_1,p_0)$ ho visto quest'ultimo come unione di $S_1-p_1$ e la semicirconferenza $S_2$. Entrambi però hanno gruppo fondamentale banale poichè $S_1-p_0$ ha come unico cammino chiuso quello banale (dato che non posso completare il giro) e lo stesso vale per l'arco di semicirconferenza.

Facendo lo stesso ragionamento per $V_2$ concludo che $pi(S_1 uu S_2, p_0)$ è ${0}$.. se non mi avessi scritto che è invece quello libero generato da tre elementi questa sarebbe stata la mia risposta.. dov'è che sbaglio??

Il problema è che non puoi prendere \( \displaystyle S_1 \setminus \{p_0\} \) perché non è aperto in \( \displaystyle V_1 \) !

Ti faccio vedere come lo farei io. Mi sono ingegnato, spero che si capisca il disegno.



La mia idea è di considerare \( \displaystyle X_0 = V_0 \cup V_3 \) e \( \displaystyle X_1 = V_3 \cup V_2 \cup V_4 \) per iniziare. Ora, stando a quello che ti ho detto prima dovresti obiettare che questi due insiemi non sono aperti nello spazio complessivo \( \displaystyle X \) . Tuttavia, voglio lasciarti rifettere un attimo sul motivo per cui io posso fare questa scelta mentre quella che facevi tu era sbagliata, poi eventualmente ti darò la risposta (hint: hai mai sentito parlare di buona coppia?).

Ammesso per il momento di poter usare Van Kampen, otteniamo che \( \displaystyle X_0 \cap X_1 = V_3 \) che è omeomorfo a un segmento e quindi è contrattile, i.e. \( \displaystyle \pi_1(V_3,p_0) = 0 \) . Allora Van Kampen ci assicura che \( \displaystyle \pi_1(X,p_0) = \pi_1(X_0,p_0) * \pi_1(X_1,p_0) \) . Tuttavia \( \displaystyle X_0 \) è palesemente omeomorfo ad una circonferenza, quindi \( \displaystyle \pi_1(X_0,p_0) \cong \mathbb Z \) , mentre per calcolare \( \displaystyle \pi_1(X_1,p_0) \) usiamo di nuovo Van Kampen. Scriviamo \( \displaystyle X_0 = Y_0 \cup Y_1 \) con \( \displaystyle Y_0 = Y_0 = V_3 \cup V_2 \) e \( \displaystyle Y_1 = V_2 \cup V_4 \) . Per lo stesso motivo di prima si può usare Van Kampen. Quindi \( \displaystyle Y_0 \cap Y_1 = V_2 \) e, di nuovo, \( \displaystyle \pi_1(Y_0 \cap Y_1,p_0) = 0 \) , sicché \( \displaystyle \pi_1(X_1,p_0) = \pi_1(Y_0,p_0) * \pi_1(Y_1,p_0) \) ; entrambi \( \displaystyle Y_0,Y_1 \) sono omeomorfi ad una circonferenza, quindi \( \displaystyle \pi_1(Y_i,p_0) = \mathbb Z \) e, in conclusione, \( \displaystyle \pi_1(X,x_0) = \mathbb Z * \mathbb Z * \mathbb Z \) .

Quello sulle rette dello spazio ancora lo devo vedere bene

Ok, pensaci se hai voglia, è divertente (hint: i retratti di deformazione sono alcuni degli strumenti più semplici e spesso sono molto efficaci per risolvere questo genere di esercizi!).

[studentessa CdLmate]

Dunque, se le due rette fossero parallele, l'esercizio sarebbe facile, perché potresti ricondurti ad un piano privato di due punti mediante un retratto di deformazione decisamente elementare ... In questo caso la situazione è leggermente più complessa... tuttavia leggo più sotto che hai Van Kampen tra le tue armi, quindi potresti prendere in considerazione di applicare Van Kampen ai semispazi \( \displaystyle X_1 : x \ge \frac{1}{2} \) e \( \displaystyle X_2 : x \le \frac{1}{2} \) . Ora, il gruppo fondamentale di uno di quei semispazi è quello di un piano senza un punto per lo stesso motivo di prima,

qual'è la deformazione elementare??..e poi non ho capito.. consideri $RR^3-(r uu s)=X_1 uu X_2$?..

scusa ma non ho per niente digerito questa parte di programma!!

La mia idea è di considerare $X_0=V_0 uu V_3$ e $X_1=V_3 uu V_2 uuV_4$ per iniziare. Ora, stando a quello che ti ho detto prima dovresti obiettare che questi due insiemi non sono aperti nello spazio complessivo X . Tuttavia, voglio lasciarti rifettere un attimo sul motivo per cui io posso fare questa scelta mentre quella che facevi tu era sbagliata, poi eventualmente ti darò la risposta (hint: hai mai sentito parlare di buona coppia?).

Non ho mai sentito parlare di buona coppia e cercando velocemente su internet non ho trovato niente a riguardo.. inoltre non capisco perchè quello che consideravo io era sbagliato mentre quello che hai considerato te sia giusto

Se dò per scontato questo allora ho capito il tuo ragionamento però

Grazie mille per la pazienza!!

[maurer]

Dunque... urge un altro disegno!



Spero che si capisca (in realtà non si capiscono gli assi; quello verticale è la z, quello che punta verso l'angolo in basso a sinistra dell'immagine è la x e la y è l'altro). Ho evidenziato in verde il piano \( \displaystyle x = \frac{1}{2} \) . Provo a cambiare di un \( \displaystyle \epsilon \) la tecnica dimostrativa, forse sarà più chiara (non cambia nulla della sostanza, però!). Prendiamo \( \displaystyle X_1 \) come \( \displaystyle \{x > \frac{1}{4}\} \setminus r \) (r è la retta in rosso), mentre \( \displaystyle X_2 \) è \( \displaystyle \{x < \frac{3}{4}\} \setminus s \) (la retta in blu). Ora, sarai d'accordo che \( \displaystyle X_1 \cup X_2 = X = \mathbb R^3 \setminus (r \cup s) \) , mentre \( \displaystyle X_1 \cap X_2 \cong \mathbb R^3 \) e quindi \( \displaystyle \pi_1(X_1 \cap X_2,x_0) = 0 \) perché lo spazio è contraibile (osserva che in questo modo non c'è il problema della buona coppia di prima). Ci sei fin qui? Allora per Van Kampen segue che \( \displaystyle \pi_1(X,x_0) = \pi_1(X_1,x_0) * \pi_1(X_2,x_0) \) . Ora, chiaramente \( \displaystyle X_1 \) è omeomorfo a \( \displaystyle \mathbb R^3 \) meno una retta (e lo stesso vale per \( \displaystyle X_2 \) ), quindi siamo ricondotti a studiare il primo gruppo fondamentale di questo spazio. A meno di un'affinità (che è un omeomorfismo), possiamo supporre di essere nella situazione in cui la retta è \( \displaystyle t: x = y = 0 \) e \( \displaystyle T = \mathbb R^3 \setminus \{t\} \) . Considera \( \displaystyle Y = \{z = 0\} \setminus \{\mathbf 0\} \subset T \) ; considera la mappa \( \displaystyle \pi \colon T \to Y \) definita da \( \displaystyle \pi(x,y,z) = (x,y,0) \) . Chiaramente è ben definita e continua. Inoltre, se \( \displaystyle j \colon Y \to T \) è l'inclusione, si ha \( \displaystyle \pi \circ j = \text{id}_{Y} \) . Sapresti trovare un'omotopia tra \( \displaystyle \text{id}_T \) e \( \displaystyle j \circ \pi \) ? (questa è la deformazione elementare a cui accennavo prima!) Perché, a questo punto, il seguente esercizio (che se non conosci ti consiglio di fare adesso) risolve:

Esercizio. Sia \( \displaystyle X \) uno spazio topologico, \( \displaystyle A \subset X \) un suo sottospazio. Se \( \displaystyle A \) è retratto di deformazione di \( \displaystyle X \) allora per ogni \( \displaystyle x_0 \in A \) , \( \displaystyle \pi_1(X,x_0) \cong \pi_1(A,x_0) \) .

Nel nostro caso otteniamo che \( \displaystyle \pi_1(T,x_0) \) è il gruppo fondamentale del piano senza un punto. Come calcolare questo gruppo fondamentale? Di nuovo, \( \displaystyle \mathcal S^1 \subset \mathbb R^2 \setminus \{\mathbf 0\} \) è un retratto di deformazione (ti lascio il facile compito di determinare le mappe necessarie a verificare quest'affermazione). Quindi, in conclusione, otteniamo \( \displaystyle \pi_1(T,x_0) \cong \pi_1(\mathcal S^1,y_0) = \mathbb Z \) . Sono stato sufficientemente chiaro, questa volta?

Infine, veniamo al concetto di buona coppia. Per prima cosa, ti spiego perché la scelta che operavi tu non andava bene. Tu volevi applicare Van Kampen, ma per applicare un teorema le ipotesi devono essere soddisfatte! Nelle ipotesi del teorema hai che lo spazio \( \displaystyle X \) deve essere unione di due aperti \( \displaystyle A,B \) tali che \( \displaystyle A \cap B \) sia connessa per archi. Quindi la tua scelta non va bene perché i due insiemi che scegli non sono aperti. A priori nemmeno la mia è corretta, ma nel mio caso posso applicare un'argomentazione supplementare per mostrare che Van Kampen è valido lo stesso (e quest'argomentazione fallisce con le tue scelte). Dunque, non ho intenzione di fare le dimostrazioni; piuttosto, sarei felice se provassi a scriverle tu in questo thread perché ritengo che: 1) ti sia utile; 2) la tecnica che svilupperò sia davvero molto importante per il calcolo esplicito del primo gruppo fondamentale. Per prima cosa una definizione.

Definizione. Una coppia è il dato di uno spazio topologico \( \displaystyle X \) e di un suo sottospazio \( \displaystyle A \subset X \) . Una coppia viene usualmente denotata \( \displaystyle (X,A) \) .
Diciamo che la coppia \( \displaystyle (X,A) \) è una buona coppia (in inglese, good pair) se le seguenti richieste sono soddisfatte:
1) \( \displaystyle A \) un sottospazio chiuso di \( \displaystyle X \) ;
2) esiste un aperto \( \displaystyle V \) contenente \( \displaystyle A \) tale che \( \displaystyle A \) sia retratto di deformazione di \( \displaystyle V \) .

Esempi.

1) Prendiamo \( \displaystyle X = \mathbb R^3 \setminus \{r \cup s\} \) , il primo esercizio di questo mio post. Sia \( \displaystyle \pi : x = \frac{1}{2} \) il piano disegnato in figura. Allora \( \displaystyle (X,\pi) \) è una buona coppia. Ad esempio si può prendere come intorno \( \displaystyle V \) proprio l'intersezione \( \displaystyle X_1 \cap X_2 \) ; la retrazione dell'inclusione è data dalla proiezione ortogonale sul piano \( \displaystyle \pi \) ristretta a \( \displaystyle V \) ; il fatto che sia un retratto di deformazione è elementare (e ti lascio anche qui il compito di scrivere esplicitamente le omotopie necessarie).
2) Sia \( \displaystyle X = S_1 \cup S_2 \) dove \( \displaystyle S_i \) sono circonferenze tali che \( \displaystyle S_1 \cap S_2 = \{x_0\} \) . Allora \( \displaystyle (X,S_1) \) è una buona coppia (e ovviamente anche \( \displaystyle (X,S_2) \) lo è). Per vederlo, si prenda come intorno aperto di \( \displaystyle S_1 \) l'insieme formato unendo \( \displaystyle S_1 \) ad un piccolo arco aperto di circonferenza di \( \displaystyle S_2 \) centrato su \( \displaystyle x_0 \) . Ovviamente l'insieme così ottenuto è aperto (perché?) e altrettanto ovviamente è soddisfatta la proprietà di retrazione richiesta.

Esercizio. Sia \( \displaystyle X \) uno spazio topologico. Se \( \displaystyle (X,A) \) , \( \displaystyle (X,B) \) sono buone coppie con intorni \( \displaystyle V \) e \( \displaystyle W \) tali che: i) \( \displaystyle A \cap B \) e \( \displaystyle V \cap W \) sono connessi per archi; ii) esistono retratti di deformazione di \( \displaystyle V \) su \( \displaystyle A \) e di \( \displaystyle W \) su \( \displaystyle B \) tali che ristretti a \( \displaystyle V \cap W \) coincidono e formano un retratto di \( \displaystyle V \cap W \) su \( \displaystyle A \cap B \) e iii) \( \displaystyle X = A \cup B \) , allora il teorema di Van Kampen può essere applicato ad \( \displaystyle A,B \) , anche se questi non sono aperti.

(comunque do un hint: si applichi Van Kampen a \( \displaystyle V \) e \( \displaystyle W \) ; si dimostri poi successivamente che \( \displaystyle \pi_1(A,x_0) \cong \pi_1(V,x_0) \) , \( \displaystyle \pi_1(B,x_0) \cong \pi_1(W,x_0) \) e \( \displaystyle \pi_1(A\cap B,x_0) \cong \pi_1(V \cap W,x_0) \) , magari tenendo presente l'esercizio precedente)

Esercizio. Mostrare che il procedimento che ho seguito nei post precedenti per calcolare il primo gruppo fondamentale dell'intersezione di due circonferenze secanti è corretto.

Potrebbe non essere facile di primo acchito risolvere questi esercizi. Prova a postare le tue idee e i tuoi tentativi, ne possiamo discutere. Non scrivo la dimostrazione semplicemente perché ritengo che siano esercizi che ti possono far migliorare davvero; se li risolverai avrai molta più dimestichezza con questa parte di quanta ne hai adesso!

P.S. Ti segnalo questo!

[studentessa CdLmate]

nel primo esercizio,quello sulle rette sghembe, ho capito tutto grazie . $Y={z=0}-{0}$ è retratto di deformazione di $RR^3-r$ tramite l'omotopia $F:RR^3-r xx I -> RR^3-r$ e $F(x,t)=(1-t)(j o pi)(x)+ tx$ poichè $RR^3-r$ è convesso in $RR^3$. va bene??

e volevo chiedere.. $X_1 nn X_2 ≅ RR^3$ perchè posso orientare tre piani in modo da riottenere lo spazio??..

Allora per dimostrare che Van Kampen si può applicare anche se $A$ e $B$ non sono aperti ma comunque sono una buona coppia con $X$ ci devo ancora pensare bene e ora non ho tempo.. comunque il tuo ragionamento,dando per scontata quella proposizione,è valido perchè se scrivo $X=S_1 uu S_2=X_0 uu X_1$ con $X_0=V_0 uu V_3$ e $X_1=V_3 uu V_2 uu V_4$,per dimostrare che $(X,X_0)$ è una buona coppia considero $V_0 uu V_3≅S^1 subset V={(x,y) in RR^2 | 0< x^2 + y^2 < 2}$.

Allora $r:V->S^1$ tale che $r(x)=x/(|x|)$ è la retrazione e $i_(|S^1)@ r$ è omotopa all'identità di $V$ poichè $V$ convesso.Inoltre $V$ è aperto...è giusto?? come posso ragionare per dimostrare che anche $(X,X_1)$ è una buona coppia?? .. non so neanche da quale aperto partire..$X_1$ però è sicuramente chiuso xD

[maurer]

nel primo esercizio,quello sulle rette sghembe, ho capito tutto grazie . $Y={z=0}-{0}$ è retratto di deformazione di $RR^3-r$ tramite l'omotopia $F:RR^3-r xx I -> RR^3-r$ e $F(x,t)=(1-t)(j o pi)(x)+ tx$ poichè $RR^3-r$ è convesso in $RR^3$. va bene??

Va bene l'omotopia, ma non va bene l'argomentazione perché \( \displaystyle \mathbb R^3 \setminus r \) non è convesso! Prendi ad esempio \( \displaystyle (-1,0,0) \) e \( \displaystyle (1,0,0) \) ; nel segmento che li congiunge si trova anche \( \displaystyle (0,0,0) \) che non appartiene al nostro spazio! Tuttavia, per \( \displaystyle x \) fissato \( \displaystyle (1-t)(j \circ \pi)(x) + tx \) è un segmento verticale e pertanto ogni suo punto appartiene al nostro insieme, quindi la mappa è ben definita (e ovviamente è continua), ossia è un'omotopia.

e volevo chiedere.. $X_1 nn X_2 ≅ RR^3$ perchè posso orientare tre piani in modo da riottenere lo spazio??..

No, è più semplice. L'intersezione è \( \displaystyle \{(x,y,z \in \mathbb R^3 \mid \frac{1}{4} < x < \frac{3}{4}\} = (\frac{1}{4}, \frac{3}{4}) \times \mathbb R^2 \) e adesso dovrebbe essere ovvio che $(1/4, 3/4) = RR$, no? Si usa l'arcotangente composta con qualche mappa affine... Ti prego di non farmi i conti! Potrei metterci di più a sommare quelle frazioni che non a riscrivere tutti i miei post daccapo!

Allora per dimostrare che Van Kampen si può applicare anche se $A$ e $B$ non sono aperti ma comunque sono una buona coppia con $X$ ci devo ancora pensare bene e ora non ho tempo.. comunque il tuo ragionamento,dando per scontata quella proposizione,è valido perchè se scrivo $X=S_1 uu S_2=X_0 uu X_1$ con $X_0=V_0 uu V_3$ e $X_1=V_3 uu V_2 uu V_4$,per dimostrare che $(X,X_0)$ è una buona coppia considero $V_0 uu V_3≅S^1 subset V={(x,y) in RR^2 | 0< x^2 + y^2 < 2}$.

Beh, non va bene perché l'intorno \( \displaystyle V \) deve essere un intorno nello spazio \( \displaystyle X \) ! Riporto l'immagine di quello che avevo in mente. L'intorno è quello colorato di rosso. Si potrebbe scrivere esplicitamente la retrazione, ma è una palla assurda... io personalmente mi accontento di sapere che si può fare...



Invece per \( \displaystyle X_1 \) prenderei (ho sbagliato a colorare, perché l'immagine sia coerente con quelle precedenti dovresti ribaltarla...)

[studentessa CdLmate]

Esercizio. Sia \( \displaystyle X \) uno spazio topologico. Se \( \displaystyle (X,A) \) , \( \displaystyle (X,B) \) sono buone coppie con intorni \( \displaystyle V \) e \( \displaystyle W \) tali che: i) \( \displaystyle A \cap B \) e \( \displaystyle V \cap W \) sono connessi per archi; ii) \( \displaystyle A \cap B \) è retratto di deformazione di \( \displaystyle V \cap W \) e iii) \( \displaystyle X = A \cup B \) , allora il teorema di Van Kampen può essere applicato ad \( \displaystyle A,B \) , anche se questi non sono aperti.

(comunque do un hint: si applichi Van Kampen a \( \displaystyle V \) e \( \displaystyle W \) ; si dimostri poi successivamente che \( \displaystyle \pi_1(A,x_0) \cong \pi_1(V,x_0) \) , \( \displaystyle \pi_1(B,x_0) \cong \pi_1(W,x_0) \) e \( \displaystyle \pi_1(A\cap B,x_0) \cong \pi_1(V \cap W,x_0) \) , magari tenendo presente l'esercizio precedente)

Innanzi tutto osservo che $V nn W supe A nn B $ quindi posso considerare le inclusioni $V nn W->V->A->X$ e $V nn W->W->B->X$ che inducono un diagramma commutativo sui gruppi fondamentali.
é molto povera questa dimostrazione..
Noto poi che $A nn B$ è retratto di deformazione di $ V nn W$ quindi i loro gruppi fondamentali sono uguali.
Allora riottengo il diagramma di Van Kampen per cui $pi(X)=pi(B)**pi(A)$