Esercizio sul sottogruppo dei commutatori

[studentessa CdLmate]

ciao a tutti... qualcuno mi potrebbe aiutare con questo esercizio:
Dimostrare che il gruppo simmetrico $ S_3$ non può essere sottogruppo dei commutatori di nessun gruppo.

Io intendevo dimostrarlo per assurdo affermando che se $ S_3$ è sottogruppo dei commutatori di un altro gruppo allora una permutazione $ f$ di $S_3$ può essere scritta come composizione di altre due applicazioni di un altro generico gruppo. Chiamate $ h $ e $g$ queste due applicazioni allora devo dimostrare che $ f=ghg^(-1)h^(-1)$ e cioè che preso $x = 1,2,3$ le immagini coincidono sia su $f$ che su $ghg^(-1)h^(-1)$ però come arrivare ad un assurdo??
grazie dell'aiuto!

[Martino]

Non è immediato come esercizio. Ti dò delle idee, poi cerca di pensarci bene tu.

Ricorda la proprietà universale del sottogruppo derivato (sottogruppo dei commutatori) di un gruppo \( \displaystyle G \) : si tratta dell'intersezione dei sottogruppi normali \( \displaystyle N \) di \( \displaystyle G \) tali che \( \displaystyle G/N \) è abeliano. Si indica con \( \displaystyle G' \) . A partire da questa definizione si dimostra che \( \displaystyle G/G' \) è abeliano.

Ora nel tuo caso \( \displaystyle G'=S_3 \) . Il fatto che devi usare è il seguente: gli automorfismi di \( \displaystyle S_3 \) sono tutti interni, in altre parole \( \displaystyle \text{Aut}(S_3) \cong S_3 \) . Probabilmente lo sapevi già.

Poiché \( \displaystyle G' \unlhd G \) l'azione di coniugio induce un omomorfismo \( \displaystyle G \to \text{Aut}(G') \cong S_3 \) , che è suriettivo (perché?). Considera la proiezione canonica \( \displaystyle S_3 \to S_3/A_3 \) . Ora componi:

\( \displaystyle G \to \text{Aut}(S_3) \cong S_3 \to S_3/A_3 \cong C_2 \) .

Cosa puoi dire del nucleo della mappa (suriettiva) risultante \( \displaystyle G \to C_2 \) ?
Nel rispondere a questa domanda ricorda la proprietà universale del sottogruppo derivato.

[studentessa CdLmate]

Mi vergogno a scriverlo ma non ho capito come utilizzare il tuo suggerimento per risolvere il problema!

come arrivo alla soluzione utilizzando gli $Aut(S_3)$? non riesco ad immaginare un punto d'arriivo.. scusa ma ho il vuoto totale!

Grazie mille!!

[Martino]

Sono arrivato a costruire un omomorfismo \( \displaystyle G \to C_2 \) , ora prendi il nucleo e chiamalo \( \displaystyle N \) . Siccome \( \displaystyle G/N \cong C_2 \) è abeliano, per la proprietà universale di cui sopra si deve avere \( \displaystyle G' \subseteq N \) . Ma questo è assurdo perché per costruzione la restrizione di \( \displaystyle G \to C_2 \) a \( \displaystyle G' \) è suriettiva.

E' un esercizio impegnativo, rifletti bene sulle idee che ti ho dato ti prego.

[studentessa CdLmate]

Salve @martino.. ho trovato il tempo di riflettere anche su questo esercizio ed ecco cosa ho concluso. Ipotizzo per assurdo che $G'=S_3$ per qualche gruppo $G$. Allora per tutto quello che hai scritto arrivo a costruirmi un omomorfismo $\phi:G -> C_2$ suriettivo. Ho trovato che $ker(\phi)=A_3$ quindi per il teorema dell'omomorfismo $ G/A_3 $è isomorfo a$ C_2 $ ma allora $S_3 sube A_3 $ il che è assurdo. Quindi l'ipotesi che $G'=S_3$ è falsa ed ho concluso. Giusto??

[Martino]

No è sbagliato, rileggi meglio. Il nucleo della tua mappa \( \displaystyle \phi:G \to C_2 \) non è \( \displaystyle A_3 \) .

[studentessa CdLmate]

Se chiamo $f : G-> Aut(S_3)$ e $\pi:S_3->S_3/(A_3)$ allora l'omomorfismo suriettivo $\phi:G->S_3/(A_3)$ è $\phi=\pi@f$ quindi $ker(\phi)=(g in G| (\pi@f)(g)=e)=(g in G|(\pi)(\sigma_g) in A_3)$ quindi sarebbero tutti gli elementi $g in G$ tali che $sg(\sigma_g)$ è pari. Giusto?? però come faccio a trovarmi questi $g$??

[Martino]

Hai letto questo?

Sono arrivato a costruire un omomorfismo \( \displaystyle G \to C_2 \) , ora prendi il nucleo e chiamalo \( \displaystyle N \) . Siccome \( \displaystyle G/N \cong C_2 \) è abeliano, per la proprietà universale di cui sopra si deve avere \( \displaystyle G' \subseteq N \) . Ma questo è assurdo perché per costruzione la restrizione di \( \displaystyle G \to C_2 \) a \( \displaystyle G' \) è suriettiva.

Qui c'è tutto. Non saprei scriverlo meglio.

[studentessa CdLmate]

vediamo se finalmente ho capito! Se affermo che $G' sube N$ allora vuol dire che $N$ è il più piccolo sottogruppo normale di $G$ per la proprietà universale del sottogruppo derivato. Ma questo è un assurdo poiché $\phi_(|G'):G'->C_2$ è suriettiva e allora $(G')/(ker\phi_(|G'))$ è isomorfo a $C_2$ quindi anche $G' sube ker\phi_(|G') $ e allora $N$ non è il più piccolo sottogruppo normale di G$$. Arrivo dunque ad un assurdo e allora ho la tesi. é corretto ??

Grazie della pazienza!!

[Martino]

No è sbagliato,

Se affermo che $G' sube N$ allora vuol dire che $N$ è il più piccolo sottogruppo normale di $G$

Questo è falso. Rileggi meglio quello che ho scritto, c'è tutto.