Formula di inversione della trasformata di Fourier

[duns]

Salve a tutti,
avrei un paio di dubbi riguardante la teoria delle trasformate di Fourier e in particolare sull'inversione della trasformata,
chiedo scusa se mi sono dilungato un po troppo nell'esporre il problema,
spero di non aver scritto grandi stupidagini ma sono alle prime armi con questi strumenti.

Sia $x in L^1(RR;CC)$ ,$ x C^((1))$ a tratti, allora $EE v.p. \int_{-infty}^{infty} e^(j\omega t) \hatx(\omega) d\omega = 2\pi (x(t^+)+x(t^-))/2$

Se x appartiene ad $L^1$ come in questo caso è necessario fare l'integrale secondo il valor principale? o posso intenderlo come un normale integrale?
in pratica quello che dice il teorema è che nei punti t dove x è continua invertendo la trasformata ottengo la funzione di partenza vera e propria mentre nei punti dove x subisce una discontinuità di prima specie ottengo la media tra il limite destro e sinistro (un po come per la serie di Fourier) giusto?
inoltre se $x$ ed $\hatx(\omega)$appartiene ad $L^1(RR)$ allora $x in C_0(RR)$ cioè è continua su tutto $RR$

se invece la $x$ di partenza sta in $L^(2)$ mi perdo un pò nei ragionamenti ma credo di aver capito che se chiamo S lo spazio dove sia la $x$ che la trasformata $\hatx(\omega)$ appartengono ad $L^1$ qui la F-trasf è biiettiva cioè mi trasforma gli elementi di S in altri elementi di S giusto?,
inoltre S è contenuto nell'intersezione tra $L^1(RR)$ e $C_0(RR)$ e è anche contenuto in $L^2$ e vale che
il prodotto scalare tra due funzioni appartenenti ad S è uguale a $1/(2pi)$ per il prodotto scalare delle trasformate e, dimostrando che S è denso in $L^2$, si arriva al teorema di Plancherel che credo di aver capito che
afferma che se x appartiene ad $L^2$ possiamo costruire una successione (fatta con funzioni di $L^1$) la cui trasformata tende a una funzione che sta ancora in $L^2$ e che è la trasformata di Fourier di $x$ , e inoltre che se $x$ appartiene anche ad $L^1$ allora è proprio uguale alla trasformata in $L^1$ che avevo scritto in cima. Sono grossomodo corretti i passaggi logici o ho travisato la questione e mi sono inventato tutto?

quindi ricapitolando se ho una trasformata di fourier e verifico che:
la trasformata è continua (è quindi la trasformata di una funzione di L^1)posso usare come formula di antitrasformazione quella di prima:
$ v.p. \int_{-infty}^{infty} e^(j\omega t) \hatx(\omega) d\omega = 2\pi (x(t^+)+x(t^-))/2$
se verifico che appartiene ad L^1 intersezione L^2 come formula di antitrasformazione continuo ad usare la stessa giusto?
se non è continua (quindi non appartiene ad L^1) ma appartiene ad L^2 cosa uso?