Ciao a tutti.
Ho qualche perplessità sui gruppi di Frobenius.. è la prima volta che ci entro in contatto e non sono riuscita a trovare molti testi in cui trovare quello che cerco.
Sulla presentazione che ho io viene dato il seguente (senza dimostrazione):
Se G è un gruppo che agisce transitivamente su un insieme finito X, e per ogni elemento g c'è al massimo UN SOLO x che viene fissato,
cioè per ogni g vale: $|{x: gx=x}|=0$ oppure $=1$, allora $N:= {g in G : gx != x} uu {1} $ è un sottogruppo (normale) di G.
Se poi X ha almeno 2 elementi e c'è almeno un elemento del gruppo che fissa un elemento (e uno solo) di X (ovvero se l'azione non è libera), allora il gruppo si dice Gruppo di Frobenius, e N si chiama nucleo di Frobenius.
Devo risolvere degli esercizi sull'argomento, e sono un po' in difficoltà.
La cosa più importante su cui vorrei un aiuto è questa:
bisogna giustificare come mai il fatto che X debba essere finito non è trascurabile. Se ho ben capito l'idea è trovare un controesempio con X infinito in modo che le condizioni siano comunque verificate ma N non risulti essere sottogruppo.
Non riesco ad arrivarci, perchè non riesco a pensare ad azioni non banali su gruppi infiniti in cui gli elementi di G fissino o 1 elemento o 0 elementi.
Poi devo risolvere il seguente esercizio:
Siano G, N, X come nelle ipotesi del teorema, con |X|=n. Mostrare che:
|N| = n
N è normale in G, e agisce transitivamente su X
|G|=nd, dove d è un divisore di n-1.
I primi due punti li ho dimostrati (con formula di Burnside e volendo leggeri smanettamenti), ma non riesco a tirare fuori il fatto che l'altro fattore dell'ordine del gruppo, d, deve dividere n-1.. probabilmente è semplice, in linea con il resto dell'esercizio, ma proprio non riesco.
Grazie a tutti per l'aiuto.
Claudia