Gruppi di permutazione: basi e punti mossi

[Martino]

Sia \( \displaystyle G \) un gruppo finito che agisca transitivamente e fedelmente su un insieme \( \displaystyle \Omega \) anch'esso finito, con \( \displaystyle |\Omega| \geq 2 \) .

Chiamiamo "base" di tale azione un sottoinsieme \( \displaystyle \Gamma \) di \( \displaystyle \Omega \) tale che se un elemento \( \displaystyle g \in G \) fissa ogni elemento di \( \displaystyle \Gamma \) allora e' l'identita', e di cardinalita' minima con questa proprieta'. Denotiamo tale cardinalita' minima con \( \displaystyle b(G) \) .

Dato \( \displaystyle g \in G \) indichiamo con \( \displaystyle \text{supp}(g) \) l'insieme degli elementi di \( \displaystyle \Omega \) non fissati da \( \displaystyle g \) . Definiamo \( \displaystyle \mu(G) \) come il minimo dei \( \displaystyle |\text{supp}(g)| \) quando \( \displaystyle g \) varia in \( \displaystyle G-\{1\} \) .

1. Calcolare per esempio \( \displaystyle b(G) \) e \( \displaystyle \mu(G) \) quando \( \displaystyle G = C_n,\ S_n,\ A_n \) nell'azione naturale su \( \displaystyle \{1,...,n\} \) e di \( \displaystyle \text{GL}(m,q) \) nell'azione naturale su \( \displaystyle {\mathbb{F}_q}^m-\{0\} \) .

2. Date le notazioni di cui sopra dimostrare che \( \displaystyle \mu(G) \cdot b(G) \geq |\Omega| \) .

Fonte: esercizi di Martin Liebeck alla scuola estiva di teoria dei gruppi a Venezia. Conosco una soluzione.

Note: il primo punto e' standard, per fare il secondo bisogna avere qualche buona idea, ma non sono richieste nozioni particolari oltre a quelle esposte (e' richiesta solo un po' di confidenza con le azioni dei gruppi).

[j18eos]

Ma per azione naturale cosa intendi?

[Martino]

Ma per azione naturale cosa intendi?

Ogni sottogruppo \( \displaystyle H \) di \( \displaystyle S_n \) agisce sull'insieme \( \displaystyle \{1,...,n\} \) nel seguente modo ovvio ("naturale"):

\( \displaystyle H \times \{1,...,n\} \to \{1,...,n\} \) ,
\( \displaystyle (\sigma,i) \mapsto \sigma(i) \) .

Scrivendo \( \displaystyle C_n \) intendo per esempio il sottogruppo di \( \displaystyle S_n \) generato dal \( \displaystyle n \) -ciclo \( \displaystyle (1...n) \) .

[j18eos]

Mi sembrava troppo banale ecco perché l'ho chiesto!

[j18eos]

Inizio a rispondere al caso in cui \( \displaystyle G=C_n \) !

Sia \( \displaystyle C_n=\langle c\rangle=\{c^k\in C_n\mid k\in I_0^{n-1}\} \) (1)(2), volendo considerare l'azione naturale \( \displaystyle \alpha \) di \( \displaystyle C_n \) su \( \displaystyle \Omega=I_1^n \) , a meno d'equivalenze, essa è: \( \displaystyle \alpha:\forall c^k\in C_n\rightarrow\dot\exists (1\hdots n)^k\in S_{\Omega}=S_n \) .

Risulta che \( \displaystyle \forall k\in I_1^{n-1},\,\mathrm{supp}(\alpha(c^k))=\Omega \) , quindi \( \displaystyle \mu(C_n)=n,\,b(C_n)=1 \) (3); in quanto ogni \( \displaystyle \alpha(c^k)\neq\iota_{\Omega} \) non fissa nessun elemento.

§§§

(1) L'elemento \( \displaystyle c \) è un generatore di \( \displaystyle C_n \) !

(2) In questo post e nei successivi pongo \( \displaystyle \forall a
(3) Per l'escluso caso che sia \( \displaystyle \Omega=\{1\} \) è \( \displaystyle S_1=\{\iota_{\{1\}}\} \) , quindi: \( \displaystyle S_1-\{\iota_{\{1\}}\}=\emptyset \) e \( \displaystyle \mu(C_1) \) non è definito.

[j18eos]

Continuo a rispondere al caso in cui \( \displaystyle G=S_n \) , indicata con \( \displaystyle \beta \) l'azione naturale di \( \displaystyle S_n \) su \( \displaystyle \Omega=I_1^n \) , si ha che essa è un suo automorfismo di \( \displaystyle S_n \) (1) ed, a meno d'equivalenze, è \( \displaystyle \beta:\forall\sigma\in S_n\rightarrow\dot\exists\sigma\in S_n \) .

A differenza di prima, \( \displaystyle \mu(S_n)=2 \) per la presenza dei 2-cicli o trasposizioni (2), \( \displaystyle b(S_n)=n-1 \) in quanto una permutazione potendo spostare un solo elemento lo fissa per il suo essere una funzione biettiva.

§§§

(1) Dovendo essere \( \displaystyle \beta\in\mathrm{Hom}(S_n;S_n) \) ed una immersione del sostegno di \( \displaystyle S_n \) in se. Aggiungo che \( \displaystyle \forall n\in\mathbb{N}-\{6\},\,\mathrm{Aut}S_n\cong S_n;\,\mathrm{Aut}S_6\cong C_2\ltimes S_6 \) .

(2) Come li si voglia chiamare!

[j18eos]

Dovresti modificare dicendo che \( \displaystyle \mu(G)=\exists\iff G\neq\{1\} \) oppure conviene porre per definizione \( \displaystyle \mu(\{1\})=0 \) ? Oppure ho solo sclerato?

Nella (remota) ipotesi che non stia sclerando dovrebbe essere \( \displaystyle \mu(G)\cdot b(G)\geq|\Omega|:G\neq\{1\} \) !

[Martino]

Hai ragione, ho modificato. Grazie

[j18eos]

Prego!

[j18eos]

Sia \( \displaystyle G=\mathbb{A}_n \) , si indichi con \( \displaystyle \gamma \) l'azione naturale di \( \displaystyle \mathbb{A}_n \) su \( \displaystyle \Omega=I_1^n \) , a meno d'equivalenze, essa è: \( \displaystyle \gamma:\forall\sigma\in\mathbb{A}_n\rightarrow\dot\exists\sigma\in S_n \) .

In questo caso \( \displaystyle \mu(\mathbb{A}_n)=3 \) a causa dei 3-cicli, mentre \( \displaystyle b(\mathbb{A}_n)=n-2 \) ; le spiegazioni in spoiler visto che si deve un pò ragionare!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Volendo che \( \displaystyle \gamma \) sia transitiva deve essere \( \displaystyle n\geq3 \) , poiché \( \displaystyle \mathbb{A}_1=\mathbb{A}_2=\{1\} \) agisce transitivamente solo sugli insiemi singleton e nelle ipotesi su \( \displaystyle \Omega \) è esplicitamente \( \displaystyle |\Omega|\geq2 \) ; ciò giustifica appieno l'asserzione su \( \displaystyle \mu(\mathbb{A}_n) \) .

Poiché le permutazioni pari e non identiche spostano almeno \( \displaystyle 3 \) elementi distinti si ha che una base ha almeno \( \displaystyle n-2 \) elementi; infatti, potendo muovere solo 2 elementi si hanno come permutazioni non identiche solo le trasposizioni, le quali non sono permutazioni pari, quindi l'asserto.

In particolare si ritrova che \( \displaystyle \mathbb{A}_3\simeq C_3,\,b(\mathbb{A}_3)=1=b(C_3) \) .

OUT OF SELF: Il mio sesto senso ha ragione; ora si inizia a ballare!