Gruppo di Galois

[Hop Frog]

Non mi è chiaro come il gruppo di Galois:

\( \displaystyle Gal(\mathbb{C} /\mathbb{Q} ) \)
possa avere infiniti elementi.

So che
\( \displaystyle Gal(\mathbb{C} /\mathbb{R} ) \)
è composto da soli 2 elementi, ovvero l' identità e la coniugazione complessa, infatti entrambe le funzioni agiscono come identità sui reali.

Ma dire che il primo gruppo ha infiniti elementi è come dire che escludendo i numeri irrazionali in R si ottengono infiniti morfismi che lasciano invariati i numeri razionali... e non capisco quali siano questi morfismi..

[Gatto89]

Questo è perchè $CC$ presenta degli elementi trascendenti su $QQ$ e quindi ha grado infinito su esso.

Per esempio, per il teorema dei gradi: $[CC : QQ] = [CC : QQ[\pi]]\cdot [QQ[\pi] : QQ]$ e $[QQ[\pi] : QQ] = +\infty$ perchè, $\forall n \in NN$, ${1, pi, ..., pi^n}$ sono $n+1$ elementi linearmente indipendenti. Per trovare infiniti automorfismi per esempio puoi partire dagli infiniti che ci sono in $QQ[\pi] \/ QQ$ (click) e poi estenderli ad automorfismi nel campo più grande.

[Martino]

Questo è perchè $CC$ presenta degli elementi trascendenti su $QQ$ e quindi ha grado infinito su esso.

Non proprio, serve anche che $CC$ è algebricamente chiuso.
Per esempio anche $RR$ ha elementi trascendenti su $QQ$, eppure \( \displaystyle \text{Aut}(\mathbb{R})=\{1\} \) .

Darei la seguente referenza (pagina 49, "Automorphism extension theorem" e quanto segue).

[Hop Frog]

ma scusate un attimo.. leggendo le vostre risposte mi è venuto un dubbio che mi sa tanto di ridicolo ma mi sta troppo intrippando..

quali sono dei numeri trascendenti su R? esistono??

[Martino]

quali sono dei numeri trascendenti su R? esistono??

Nel campo delle frazioni di \( \displaystyle \mathbb{R}[X] \) - indicato di solito con \( \displaystyle \mathbb{R}(X) \) - esistono elementi trascendenti su \( \displaystyle \mathbb{R} \) (per esempio \( \displaystyle X \) ).

[Hop Frog]

wait, wait...

tu mi stai dicendo che X, valutato come elemento di \( \displaystyle \mathbb{R} (X) \) , è un elemento trascendente su \( \displaystyle \mathbb{R} \) ovvero che non esiste alcun olinomio in \( \displaystyle \mathbb{R} [X] \) che ha come soluzione X??

ma che significa??

[Martino]

ma che significa??

Beh, significa quello che hai detto.

[Hop Frog]

ma...

è come dire che una banana in \( \displaystyle \mathbb{R} \) è trascendente perchè nessun polinomio a coefficienti reali ha una banana come radice...

[Martino]

è come dire che una banana in \( \displaystyle \mathbb{R} \) è trascendente perchè nessun polinomio a coefficienti reali ha una banana come radice...

Se fai una costruzione in cui la banana non è algebrica, allora dev'essere trascendente.

Sia B una banana.

Considera l'anello dei polinomi \( \displaystyle A:=\mathbb{R}[B] \) . Questo anello si può descrivere anche in un modo intrinseco: si tratta dell'insieme delle funzioni \( \displaystyle f:\mathbb{N} \to \mathbb{R} \) tali che \( \displaystyle \{n \in \mathbb{N}\ |\ f(n) \neq 0\} \) è un insieme finito. L'intuizione è che associ alla funzione f la scrittura formale \( \displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} f(n) B^n \) (che se noti è una somma finita per la condizione che ho detto, e identifica univocamente la f). Ora prendi il campo delle frazioni di \( \displaystyle A \) , chiamalo \( \displaystyle K \) . Dentro K c'è l'elemento B (la banana). Secondo la nostra costruzione \( \displaystyle B \) non è altro che la funzione \( \displaystyle \mathbb{N} \to \mathbb{R} \) che vale \( \displaystyle 1 \) in \( \displaystyle 1 \) e \( \displaystyle 0 \) altrove.

Ora il punto è che il campo K contiene \( \displaystyle \mathbb{R} \) , nel senso che l'omomorfismo ovvio \( \displaystyle \mathbb{R} \to \mathbb{K} \) (quello che manda ogni \( \displaystyle r \) in se stesso, cioè nella funzione \( \displaystyle \mathbb{N}\to \mathbb{R} \) che vale \( \displaystyle r \) in \( \displaystyle 0 \) e \( \displaystyle 0 \) altrove) è iniettivo. Quindi tu ora identifichi \( \displaystyle \mathbb{R} \) al sottocampo \( \displaystyle \{f \in A\ |\ f(n)=0\ se\ n>0\} \) di K.

Prendi la tua banana B (la funzione da \( \displaystyle \mathbb{N} \) a \( \displaystyle \mathbb{R} \) che vale \( \displaystyle 1 \) in \( \displaystyle 1 \) e \( \displaystyle 0 \) altrove). E' trascendente su R, no? Infatti se un polinomio \( \displaystyle P(X) \) a coefficienti in \( \displaystyle \mathbb{R} \) annulla \( \displaystyle B \) allora nell'anello \( \displaystyle A=\mathbb{R}[B] \) (che è un anello di polinomi!) si avrebbe \( \displaystyle P(B)=0 \) , e questo è possibile solo se \( \displaystyle P=0 \) .

Come vedi in tutto questo la banana è solo un oggetto ausiliario, non compare mai nelle descrizioni formali degli oggetti.

Se invece prendi il quoziente \( \displaystyle L:=\mathbb{R}[B]/(B^2+1) \) (che è un campo) e identifichi la banana B con la sua classe \( \displaystyle B+(B^2+1) \) (tramite l'omomorfismo iniettivo \( \displaystyle \mathbb{R} \to \mathbb{R}[B]/(B^2+1) \) che manda ogni reale nella sua classe) allora \( \displaystyle B \in L \) è algebrica su \( \displaystyle \mathbb{R} \) , essendo \( \displaystyle B^2+1=0 \) .