Ciao a tutti, oggi mi sono imbattuto in un esercizio sui gruppi ed ho trovato difficoltà nella risoluzione.
Dato un gruppo $G$ di ordine $pqr$ con $p<q<r$ tutti primi, mostrare che l'$r$-sylow è normale in $G$ e che se $q$ non divide $r-1$ allora il $q$-sylow è normale.
Poichè non mi riusciva di venirne a capo (il problema nel primo quesito riguardo lo scartare l'ipotesi $n_r=pq$) ho provato a ragionare su un esempio concreto. Allora siano $pqr=30$ cioè $p=2,q=3,r=5$. Ma non riesco a mostrare che $r$-sylow è normale in $G$. Sicuramente tale gruppo non è semplice, ma secondo quanto affermato sopra sia il $5$-sylow che il $3$-sylow dovrebbero essere normali in $G$, eppure a me qualcosa non torna.
Qualche idea o suggerimento?