Sappiamo che se un sottogruppo ha indice primo allora è massimale. Ma cosa possiamo dire dell'indice di un sottogruppo massimale?
Nell'ambito dei gruppi risolubili qualcosa riusciamo a dire.
Teorema. L'indice di un sottogruppo massimale di un gruppo risolubile finito è una potenza di un primo.
Nel seguito propongo una serie di risultati intermedi che servono a dimostrare questo teorema.
Introduco la nozione di "sottogruppo normale minimale". Un sottogruppo normale \( \displaystyle N \) di un gruppo \( \displaystyle G \) si dice "sottogruppo normale minimale" se nessun sottogruppo proprio non banale di \( \displaystyle N \) è normale in \( \displaystyle G \) .
Introduco la nozione di "sottogruppo sub-normale minimale". Un sottogruppo \( \displaystyle H \) di un gruppo \( \displaystyle G \) si dice "subnormale" se esiste una sequenza finita \( \displaystyle H=N_0 \unlhd N_1 \unlhd ... \unlhd N_t = G \) . \( \displaystyle H \) si dice "subnormale minimale" se è subnormale e in aggiunta nessun sottogruppo proprio non banale di \( \displaystyle H \) è subnormale in \( \displaystyle G \) .
Lemma A. Sia \( \displaystyle G \) un gruppo risolubile, e sia \( \displaystyle K \) un sottogruppo sub-normale minimale di \( \displaystyle G \) . Allora \( \displaystyle K \) è ciclico di ordine primo.
Dim. Osserviamo che \( \displaystyle K \) dev'essere semplice...
Lemma B. Un gruppo finito ammette sempre sottogruppi normali minimali e subnormali minimali.
Dim. Basta andare giù abbastanza.
Lemma C. Sia \( \displaystyle G \) un gruppo risolubile, e sia \( \displaystyle N \) un suo sottogruppo normale minimale. Allora \( \displaystyle N \cong C_p^n \) per un \( \displaystyle p \) primo e un intero positivo \( \displaystyle n \) . In particolare \( \displaystyle |N| = p^n \) .
Dim. Consideriamo un sottogruppo subnormale minimale \( \displaystyle K \) di \( \displaystyle G \) contenuto in \( \displaystyle N \) . I suoi coniugati sono tutti sottogruppi di \( \displaystyle N \) . Consideriamo il sottogruppo che generano...
Siano ora \( \displaystyle G \) un gruppo risolubile e \( \displaystyle H \) un suo sottogruppo massimale. Detto \( \displaystyle H_G \) il cuore normale di \( \displaystyle H \) in \( \displaystyle G \) (l'intersezione dei coniugati di \( \displaystyle H \) ), siccome basta mostrare il risultato per \( \displaystyle G/H_G \) e \( \displaystyle H/H_G \) , possiamo supporre che \( \displaystyle H_G=\{1\} \) . Sia \( \displaystyle N \cong C_p^n \) un sottogruppo normale minimale di \( \displaystyle G \) . Siccome \( \displaystyle H_G=\{1\} \) si ha \( \displaystyle H \cap N=\{1\} \) e dalla massimalità di \( \displaystyle H \) segue che \( \displaystyle HN=G \) . Quindi \( \displaystyle |G:H| = |HN:H| = |N:H \cap N| = |N| = p^n \) .