Le dita dei marziani - SNS 1962

[elios]

"Si sostiene talvolta che noi usiamo il sistema decimale di numerazione (per cui, per esempio, $362$ significa $3*10^2+6*10+2$) in quanto abbiamo dieci dita.
Un marziano, dopo aver vista scritta l'equazione:
$x^2-16*x+41=0$,
invitato a scrivere la differenza delle radici, scrive $10$.
Quante dita hanno i marziani?
NB: per i numeri compresi fra 0 e 6 la scrittura dei marziani coincide con la nostra."

Io ho risolto questo esercizio sostanzialmente a tentativi, cioè analizzando i casi di base 2,3,4 e così via e sono giunta alla conclusione che i marziani hanno 8 dita:
Infatti se scriviamo l'equazione a base 8, cioè ponendo $16_8=1*8+6*1=14$ e $41_8=4*8+1*1=33$, otteniamo:
$x^2-14x+33=0$ (a base 10).
Risolvendola le due radici sono $x_1=3$ e $x_2=11$, la cui differenza è 8 (in base 10), e quindi 10 in base 8.

C'è un modo più elegante per risolverlo, cioè senza andare 'a tentoni'?

[Feliciano]

senza andare a tantoni:

l'equazione proposta, dato che non conosci il sistema di numerazione, ma puoi benissimo supporre che sia posizionale la puoi riscrivere in questo modo
$x^2-(1*a+6*1)x+(4*a+1)=0$
dove a è appunto la base di numerazione che stai cercando. Ora devi imporre che la differenza delle sue soluzioni di quest'equazione sia appunto $1*a+0*1$.
Quindi ti basta risolvere in x l'equazione, otterrai due soluzioni in cui comparirà il "parametro" a, non ti resta che imporre la differenza di questi due valori uguale a $a$.
Ne ottieni l'equazione $-4a+32=0$ la cui soluzione è chiaramente 8.

(solo una cosa stai attento a quando fai $x_1-x_2$ perchè se inverti $x_1$ e $x_2$ ti esce un'equazione non valida per nessun valore di a)

[Steven]

Ciao, ti segnalo sue discussioni proprio a proposito di questo problema.

https://www.matematicamente.it/forum/ali ... t=marziani
https://www.matematicamente.it/forum/mal ... t=marziani

Buon lavoro!

[elios]

Che stupida a non pensarci! Dovevo solo parametrizzare un procedimento che avevo già fatto.. Grazie!

[Ghirlinghe]

Buongiorno a tutti voi,sono nuovo di questo forum,ma già mi piace
Passavo di qui perchè ero interessato a preparare l'ammissione alla SNS e ho visto in questo problema l'opportunità di cimentarmi.
Premetto che la mia soluzione è molto semplice,ma d'altronde è questo lo spirito con cui affrontare questi test,pochi calcoli e tanto intuito
Detto questo,veniamo a noi:la prima parte del problema ci dice a caratteri cubitali che i numeri che i marziani scrivono,ad esempio 451,non vanno intesi come $ 4\cdot10^{2}+5\cdot10+1 $ bensì come $ 4\cdotd^[2]+5\cdotd+1 $ ,dove $ d $ è il numero di dita del marziano,quindi il $ 10 $ che lui scrive non è un $ 10 $ ma semplicemente $ d $ .
Dopodichè,è ormai palese che la differenza tra le radici del polinomio è $ 8 $ ,quindi banalmente $ d=8 $ .
Ecco qui,dovrebbe andar bene,qualche anima pia che passi di qui a controllare la veridicità della mia soluzione?

[Rigel]

Dopodichè,è ormai palese che la differenza tra le radici del polinomio è $ 8 $ ,quindi banalmente $ d=8 $

Da cosa si evince che la palese differenza delle radici è 8?

[Erasmus_First]

Non mi pare un quiz da sezione "Pensare un po' di più". Voglio dire: C'è molto poco da "pensare".

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Da cosa si evince che la palese differenza delle radici è 8?

[Lasciamo perdere quel "palese"!]
Ovvio: dal fatto che, se indico con b la "base" numerica, [che in notazione posizionale è 10 sia per me che per il marziano], risulta che (per il marziano) la differenza delle radici (espressione funzione di b) deve valere b.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

... ho risolto questo esercizio sostanzialmente a tentativi, [...]

???
Per me e per il marziano sta bene b (come "base") al posto di 10 = 1·b + 0.
Lasciamo perdere il linguaggio "letterario" e restiamo in quello stringato della matematica.
$(b=1·b+0 ≡ 10)$ ∧ $(x^2 -16x+ 41 = 0)$ ⇒ $x^2 -(b+6)x +(4b + 1) = 0$ ⇔
⇔ $x = (b+6)/2 + (sqrt(b^2 - 4b +32))/2$ ∨ $x = (b+6)/2 - (sqrt(b^2 - 4b +32))/2$;
$|(b+6)/2 + (sqrt(b^2 - 4b +32 ))/2 – ((b+6)/2 - (sqrt(b^2 - 4b +32 ))/2)|=sqrt(b^2 - 4b +32)$;
$sqrt(b^2 - 4b +32) = b$ ⇒ $b^2 - 4b +32 = b^2$ ⇔ $-4b + 32 = 0$ ⇔ $b = 32/4 ≡ 8$.

[Ghirlinghe]

Effettivamente ho scritto quel "palese" in un momento di non grande lucidità
Comunque intendevo dire che,dato che ormai l'equazione è stata già risolta,davo per assodato che la differenza tra le radici fosse 8,senza però effettivamente averlo dimostrato.
Mea culpa