Limite di un'area

[Paolo90]

Il problema ha sapore geometrico ma posto qui perché i miei problemi sono di natura analitica (non riesco a calcolare un limite legato a un integrale).

Problema (concorso di ammissione SISSA). Per ogni $t \in \mathbb R$ sia \( \displaystyle \Pi_t := \left\{(x,y,z) \in \mathbb R^3:z=t\right\} \) . Preso $T>0$ sia $S_T$ la superficie racchiusa tra i piani $Pi_0$ e $Pi_T$ tale che, per ogni $t \in [0,T]$, la sua intersezione con il piano $Pi_t$ è la circonferenza di raggio $1$ e centro \( \displaystyle \left(\cos{\frac{t}{T}}, \sin{\frac{t}{T}},t\right) \) . Calcolare
\[
\lim_{T \to 0^+} \text{Area}(S_T).
\]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Forse sono andato a complicarmi un po' la vita. Anzitutto, ho pensato che
\[
\begin{split}
\varphi \colon & (0,T) \times (0,2\pi) \to \mathbb R^3 \\
& (u,\vartheta ) \mapsto \left(\cos{\frac{u}{T}}+\cos{\vartheta}, \sin{\frac{u}{T}} + \sin{\vartheta}, u\right)
\end{split}
\]
potrebbe essere una parametrizzazione della nostra superficie. In effetti, quando congelo $u=t$ trovo esattamente la circonferenza del testo.

E' noto come si calcola l'area nota una parametrizzazione: basta integrare sulla regione $\sqrt{EG-F^2}$, dove $E,F,G$ sono i coefficienti della prima forma fondamentale. Un rapido conto mostra che
\[
I =
\begin{pmatrix}
1+\frac{1}{T^2} & \frac{1}{T}\cos{\left(\frac{t}{T}+\vartheta \right)} \\
\frac{1}{T}\cos{\left(\frac{t}{T}+\vartheta \right)} & 1
\end{pmatrix}.
\]

Perciò,
\[
\text{Area}(S_T) = \iint_{[0,2\pi] \times [0,T]} \sqrt{1+\frac{1}{T^2}\sin^2{\left(\frac{t}{T}+\vartheta \right)}}d\vartheta dt =:I
\]

Speravo di scampare il calcolo esplicito dell'integrale con qualche stima, ma nulla da fare: riesco solo a concludere che il limite richiesto è un numero tra $0$ e $2\pi$. Infatti
\[
1 \le 1+\frac{1}{T^2}\sin^2{\left(\frac{t}{T}+\vartheta \right)} \le 1 +\frac{1}{T^2}
\]

da cui, prendendo le radici quadrate e integrando membro a membro,
\[
2\pi T \le I \le 2\pi T \sqrt{\frac{1}{T^2} + 1}
\]
Mandando $T \to 0$ non concludo nulla di furbo.

Qualcuno vede una strada più easy del guazzabuglio in cui sono andato a mettermi? Qualcuno vede qualche stima meno rozza?

Grazie in anticipo.

[ciampax]

Non vorrei dire una cavolata ma credo che $F=1/T\cos(\theta-u/T)$ e quindi

$\sqrt{EG-F^2}=\sqrt{1+1/T^2-1/T^2 \cos^2(\theta-u/T)}=\sqrt{1+1/T^2 \sin^2(\theta-u/T)}$

Io direi che l'integrale non dovrebbe poi essere molto problematico, sia che scegli di procedere prima con $u$ che con $\theta$. Suggerirei di sostituire $\sin(\theta-u/T)={2x}/{1+x^2}$ con $x=\tan(\theta/2-u/{2T})$, credo che te la dovresti cavare rapidamente.

[Paolo90]

Non vorrei dire una cavolata ma credo che $F=1/T\cos(\theta-u/T)$ e quindi

$\sqrt{EG-F^2}=\sqrt{1+1/T^2-1/T^2 \cos^2(\theta-u/T)}=\sqrt{1+1/T^2 \sin^2(\theta-u/T)}$

Verissimo! Mannaggia a me, ho sbagliato le formule di sottrazione del coseno: che vergogna!

Io direi che l'integrale non dovrebbe poi essere molto problematico, sia che scegli di procedere prima con $u$ che con $\theta$. Suggerirei di sostituire $\sin(\theta-u/T)={2x}/{1+x^2}$ con $x=\tan(\theta/2-u/{2T})$, credo che te la dovresti cavare rapidamente.

Mmm, grazie del suggerimento ma non sono ancora riuscito a semplificare molto le cose. Se calcolo prima l'integrale in $T$ ho:
\[
2\int_{\tan{\frac{\vartheta-1}{2}}}^{\tan\frac{\vartheta}{2}} \frac{\sqrt{T^2(1+x^2)^2+4x^2}}{(1+x^2)^2}dx
\]
che, intendiamoci, non è proprio bellissimo.

Provo a smanettare ancora un po' ma sono un po' scettico sul calcolo esplicito (e poi ho l'errata convinzione che - essendo un esercizio tratto da un concorso - non possa essere troppo lungo o calcoloso). Forse dovrei rivedere le mie stime; tu non pensi sia ragionevole cercare di maggiorare tutto dall'alto con una funzione infinitesima?

Grazie mille per il tuo aiuto.

[ciampax]

Tu vuoi calcolare questo integrale:

$\int_0^{2\pi}\int_0^T 1/T \sqrt{T^2+\sin^2(\theta-u/T)}\ du\ d\theta$

Ora, se poniamo $\theta=\theta,\ u/T=z$ allora lo Jacobiano diventa $J=T$ (correggimi se sbaglio) e l'integrale si riscrive come

$\int_0^{2\pi}\int_0^1 \sqrt{T^2+\sin^2(\theta-z)}\ dz\ d\theta=S_T$

e per $T\to 0$ esso diventa

$S_0=\int_0^{2\pi}\int_0^1 \sqrt{\sin^2(\theta-z)}\ dz\ d\theta=\int_0^{2\pi}\int_0^1 |\sin(\theta-z)|\ dz\ d\theta=...$

Il resto sono calcoli!

[Paolo90]

Ah, ma c'è il (barba)trucco!

Io mi ero abbastanza incaponito sul dover calcolare l'integrale portandomi dietro il parametro $T$; invece, tu te ne sbarazzi subito (semplificando di molto il problema).

A questo punto, mi domando: perché è lecito portare il limite sotto il segno di integrale? Questa è forse una domanda stupida, ma ho sempre paura quando scambio limite e integrale, perciò preferisco chiedere piuttosto che tenermi il dubbio.

Grazie ancora!

P.S. Per la cronaca, comunque il tuo ultimo integrale fa $0$ (che spero sia il risultato corretto).

[ciampax]

Sì, è lecito poiché integri su un rettangolo una funzione positiva. Comunque, mi ero dimenticato del valore assoluto.

[_fabricius_]

Come può uscire 0 l'integrale di una funzione continua e positiva?
A me viene 4 (scambiando l'ordine d'integrazione e sfruttando la periodicità).

[gugo82]

mi ero dimenticato del valore assoluto.

E questo spiega l'errore di Paolo90.

Moderatore: gugo82

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