Luogo del terzo vertice di un triangolo - SNS 1974

[elios]

"Trovare il luogo del terzo vertice di un triangolo, dati due vertici e la lunghezza di una mediana. Esaminare i vari casi"

1° caso: Dato il segmento AB e la lunghezza della mediana CM, cioè la mediana uscente dal terzo vertice, con M punto medio di AB. Il luogo è una semicirconferenza di centro M, punto medio di AB, e raggio CM, la lunghezza data della mediana.

2° caso: Dato il segmento AB e la lunghezza della mediana AM (o BM, senza perdita di generalità), cioé la mediana uscente dal vertice A (o B), con M punto medio di BC (o AC).
Qui le cose si complicano. Non sono riuscita a trovare un modo intuitivo per trovare il luogo; ho provato ad aiutarmi con Geogebra, a costruire la figura, ed ottengo un luogo che assomiglia ad una versiera di Agnesi, o un tratto di un'ellisse..
Ho provato a considerarlo in questo modo: traccio la circonferenza di centro A e raggio AM, ed essa è il luogo dei punti M medi di BC. A questo punto il problema si riduce a trovare il luogo dei punti simmetrici di B rispetto alla circonferenza. (tracciando un fascio di rette centrato in B, e chiamando M il punto d'intersezione delle rette con la circonferenza prima costruita, il terzo vertice che cerco è il simmetrico di B rispetto ad M, essendo CM=MB). E' solo che sono al punto di partenza, non riesco a capire che luogo ottengo..
Ci sono vie migliori? Come faccio?
Grazie.

[giammaria]

2° caso, usando le lettere come indicato, mediana AM. Da C si tracci la parallela ad AM, che incontra in D la retta AB. Per la similitudine dei triangoli DBC e ABM si ha CD=2 AM e DB=2 AB. Sono quindi note la posizione di D (simmetrico di B rispetto ad A) e la lunghezza di CD (doppio della mediana): il luogo è la circonferenza di centro D e raggio CD.

[elios]

Ah.. Dio quanto era semplice.. E facendo con Geogebra ho preso AM troppo lungo rispetto ad AB e il luogo che mi tracciava era solo un piccolo arco di circonferenza tale da farlo sembrare una parte di ellisse..
Grazie dell'aiuto! =)