Matrice associata rispetto alla base canonica

[Luca92]

Si consideri in $RR^3$ la seguente applicazione lineare: $f(x,y,z)->(x,y,2y+z)$. Determinare la matrice associata A rispetto alla base canonica di $RR^3$. La base canonica è $B={(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)}, f(1,0,0)=(1,0,0), f(0,1,0)=(0,1,2), f(0,0,1)=(0,0,1)$. La matrice A è dunque $A=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $? E se non avessi la base canonica, ma una qualsiasi base di $RR^3$? Grazie in anticipo a tutti

[miuemia]

corretto.
se avessi avuto un'altra base dove esprimere gli elementi della base canonica rispetto all'altra base e così definivi $f$.

[Luca92]

E se mi diceva di trovare la matrice associata rispetto a una base B, diversa da quella canonica? Quindi sempre rispetto a una base sola?

[prime_number]

Se avevi una base $B={v_1,v_2,v_3}$ (faccio l'esempio in dimensione 3 come sopra) dovevi prima di tutto calcolare $f(v_1,),f(v_2),f(v_3)$ e poi metterli in coordinate rispetto a $B$ e mettere il risultato come colonne (ordinatamente) della matrice.

Paola

[Luca92]

Quindi, comunque il procedimento è lo stesso che se avevo una base canonica. Grazie a tutti

[Another Joe]

scusate, mi intrometto per chiedere, siccome nel primo post Luca ha svolto l'esercizio ordinando nella matrice A i vettori trovati per riga, se si possono ordinare anche per colonna, o è un errore.

Grazie.

[Kashaman]

Di norma le coordinate andrebbero scritte in colonna.. ma non è strettamente necessario. Ad esempio se devi calcolare la dimensione dell'immagine è ininfluente come le scrivi. Perché il rango per righe è uguale a quello per colonne.

[Another Joe]

quindi nemmeno le dimensioni del Ker variano, e via dicendo.

Grazie Kashaman!

[EveyH]

Qualcuno può spiegarmi i passaggi per trovare la matrice associata a una determinata applicazione lineare rispetto alle basi canoniche?
Ad esempio se l'applicazione è questa:
$f: R^4 -> R^2$ definita da:
$f(e1)=-e2$
$f(e2)=3e1-4e2$
$f(e3)=-e1$
$f(e4)=3e1+e2$

Come si arriva a trovare che la matrice associata rispetto alle basi canoniche è:
0 3 -1 3
-1 -4 0 1

[ferdy76]

Puoi determinare la matrice associata ad una trasformazione lineare rispetto a due basi non canoniche, cioe rispetto a due basi qualsiasi. Poi sostituisci i vettori della base canonica ai vettori delle due basi qualsiasi. Ti ritroverai la matrice che tu hai segnato. Scusate se non descrivo i passaggi ma devo ancora imparare a scrivere i simboli matematici.