) argomenti collegati a quest'altro topic.Nota iniziale. Ogni anello sarà da considerarsi commutativo unitario (e possibilmente non nullo).
Definizione. Sia \( \displaystyle A \) un anello. Un \( \displaystyle A \) -modulo \( \displaystyle M \) si dice \( \displaystyle A \) -divisibile se per ogni non-zero-divisore \( \displaystyle a \in A \) e ogni \( \displaystyle m \in M \) esiste \( \displaystyle n \in M \) tale che \( \displaystyle an = m \) .
Definizione. Sia \( \displaystyle A \) un anello. Un \( \displaystyle A \) -modulo \( \displaystyle N \) si dice \( \displaystyle A \) -iniettivo se per ogni inclusione \( \displaystyle M' \subset M \) di \( \displaystyle A \) moduli e ogni mappa di \( \displaystyle A \) -moduli \( \displaystyle f \colon M' \to N \) esiste una mappa \( \displaystyle \tilde{f} \colon M \to N \) che estenda \( \displaystyle f \) . In altre parole, vale il seguente diagramma:
![\xymatrix{ 0 \ar[r] & M^\prime \ar[dr]_f \ar[r] & M \ar@{.>}[d]^-{\exists \tilde{f}} \\ & & N}](/forum/latexrender/pictures/f144cc05f912408f19b06b4206da4283.png "\xymatrix{ 0 \ar[r] & M^\prime \ar[dr]_f \ar[r] & M \ar@{.>}[d]^-{\exists \tilde{f}} \\ & & N}")
Teorema (criterio di Baer). Sia \( \displaystyle A \) un anello. Un \( \displaystyle A \) -modulo \( \displaystyle M \) è iniettivo se e solo se per ogni ideale \( \displaystyle I \subset A \) ed ogni mappa \( \displaystyle f \colon I \to M \) esiste una mappa \( \displaystyle \tilde{f} \colon A \to M \) che estende \( \displaystyle f \) .
Proof. Esercizio (è piuttosto difficile, ma do un hint: si usi il lemma di Zorn!).
Corollario. Sia \( \displaystyle A \) un anello. Se \( \displaystyle N \) è un modulo iniettivo allora è divisibile. Se \( \displaystyle A \) è un PID, vale il viceversa.
Proof. Esercizio!
Esercizio. Mostrare che \( \displaystyle \mathbb R / \mathbb Q \) è uno \( \displaystyle \mathbb Z \) modulo iniettivo.
Definizione. Sia \( \displaystyle A \) un anello fissato. Sia \( \displaystyle M \) un \( \displaystyle A \) -modulo, sia \( \displaystyle E \subset M \) un sottomodulo. Diciamo che \( \displaystyle E \) è essenziale se ogni altro sottomodulo \( \displaystyle N \ne \{0\} \) è tale che \( \displaystyle E \cap N \ne \{0\} \) .
Esercizio. Sia \( \displaystyle A \) un anello fissato, sia \( \displaystyle M \) un \( \displaystyle A \) -modulo. Si dimostri che:
- 1) per ogni sottomodulo \( \displaystyle N \subset M \) esiste un unico sottomodulo \( \displaystyle E \) massimale rispetto alla proprietà di contenere \( \displaystyle N \) e che \( \displaystyle N \) sia essenziale in \( \displaystyle E \) ;
2) se \( \displaystyle M \) è iniettivo, allora anche \( \displaystyle E \) lo è.
Per ora mi fermo qui. Se qualcuno fosse interessato e risponderà a questi primi esercizi, si può andare avanti in tante direzioni, una fra tutte si possono delineare le proprietà delle risoluzioni iniettive di moduli ed il funtore derivato ext.
