"Dati tre numeri interi $a$,$b$,$c$ aventi massimo comun divisore 1, verificare che i numeri della forma $am^2+bm+c$ con $m$ intero qualunque, non possono essere tutti divisibili per $14$. Generalizzare il risultato."
Questo è il mio procedimento:
Inizio a vedere se, al variare di $m$, il polinomio si mantiene sempre pari oppure no. Nel caso in cui io trovassi casi per cui il polinomio non è pari, conseguentemente non sarà neppure divisibile per 14.
Il polinomio è formato da tre addendi, quindi la somma sarà pari se i tre addendi sono tutti pari oppure se uno è pari e gli altri due sono dispari. Inoltre ricordo che essendo $a$,$b$,$c$ primi tra loro, solo uno di essi può essere pari (anche se sono dati, mi serve ipotizzare i loro valori per analizzare tutti i casi che mi possono venire fuori).
Nel caso in cui prendo $m$ pari, poiché $am^2+bm$ è pari, se $c$ è dispari, allora il polinomio è dispari, se $c$ è pari, allora il polinomio è pari.
Nel caso in cui prendo $m$ dispari, se $a$ e $b$ fossero uno pari e uno dispari, se $c$ è dispari, allora il polinomio è pari, se $c$ è pari, allora il polinomio è dispari. Se $a$ e $b$ invece sono entrambi dispari, se $c$ è pari, allora il polinomio è pari, se $c$ è dispari allora il polinomio è dispari.
Ho trovato i casi in cui $am^2+bm+c$ non è divisibile per 2, quindi in quegli stessi casi non può essere divisibile neppure per 14.
Generalizzando, posso dire che i numeri nella forma $am^2+bm+c$ non sono sempre divisibili per 2.
Che ne dite?
Grazie dell'aiuto.