Numeri reali $a$ e $b$

[elios]

Dimostrare che, presi due numeri reali $a$ e $b$, si ha sempre:
$a^4+b^4>=a^3*b$

[Nel caso in cui $a$ e $b$ siano discordi, la disuguaglianza è sicuramente verificata (1° membro sempre positivo, 2° membro negativo). Nel caso in cui $a$ e $b$ siano concordi, ho provato sfruttare una disuguaglianza sempre verificata, come $(a+b)^4>=0$ oppure $(a-b)^4>=0$ e poi attraverso opportune somme e sottrazioni arrivare alla mia dimostrazione, ma non ho ottenuto nulla... Come fare?]

[Steven]

SNS, non ricordo di quale anno...

Tre diverse soluzioni puoi trovarle qua
https://www.matematicamente.it/forum/2-v ... c&start=10
Guardati gli ultimi due post, e il quinto post della pagina successiva.

Mi sa che ti conviene mettere questi topic in "Giochi matematici", hanno più visibilità, credo.

Ciao!

[IvanTerr]

Trovo:
$a^4+b^4>=a^3b$
$a^4+b^4-a^3b>=0$
$a^3(a-b)+b^4>=0$
Se $a = b$ è verificata.
Se $a>b$ è verificata.
Se $a<b$, allora esiste un k tale che $a+k=b$
$a^3(a-(a+k))+(a+k)^4>=0$
$a^3(k)+(a+k)^4>=0$
ed è ugualmente verificata.

[Steven]

Guarda che i numeri sono reali qualsiasi.
Giustifica i passaggi.

Ciao.

[ant.py]

ciao

allora forse è un po' laboriosa però dovrebbe essere corretta;

$ a^4 + b^4 geq a^3 * b $

se a e b sono discordi, è dimostrato per quanto detto da elios

supponiamo quindi a e b concordi

supponiamo $ |a| > |b|$, con $a, b geq 0$.

avremo

$ a^4/b + b^ 3 geq a ^ 3 $ ed essendo $ |a| > |b| $, allora $a^4/b geq a ^ 3$, ed essendo $b^3 geq 0$, la relazione è dimostrata

supponiamo sempre $ |a| > |b|$, con $a, b leq 0$.

avremo
$ a^4/b + b^ 3 leq a ^ 3 $ ed essendo $ |a| > |b| $, allora $|a^4/b| geq |a ^ 3|$, ed essendo $a, b leq 0$, avremo che $a^4/b leq a^3$. essendo inoltre $b^3 leq 0$, la relazione è dimostrata

supponiamo ora $|b| > |a|$, con $a, b geq 0$

avremo

$ a^4/b + b^ 3 geq a ^ 3 $ ed essendo $ |b| > |a| $, allora $b^3 > a ^ 3$, ed essendo $a^4/b geq 0$, la relazione è dimostrata

supponiamo sempre $|b| > |a|$, con $a, b leq 0$

avremo

$ a^4/b + b^ 3 leq a ^ 3 $ dividiamo per $a^3 ( < 0 )$
$a/b + b^3 / a^3 geq 1$ ed essendo $|b| > |a|$, sarà $b^3 /a^3 geq 1$, ed essendo $a/b geq 0$, la relazione è dimostrata

corretto?

[simo16]

ma è tutto molto più semplice! Se $|a|\ge|b|$ allora $a^4+b^4\ge a^4=|a^3||a|\ge |a^3b|\ge a^3b$.
Se $|a|\le|b|$ allora $a^4+b^4\ge b^4=|b|^3|b|\ge |a|^3|b|=|a^3b|\ge a^3b$.
Fine

[Angelo]

Ho trovato un'altra soluzione anche se è un po' più lunga.

La disuguaglianza è certamente vera se $a$ e $b$ sono numeri reali discordi ($ab<0$), quindi la provo nel caso in cui $a$ e $b$ siano numeri reali concordi ($ab>=0$).

$a^4+b^4>=a^4+b^4-ab^3+a^3b-a^3b=a^3(a-b)-b^3(a-b)+a^3b=(a-b)(a^3-b^3)+a^3b=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)+a^3b>=a^3b$

da cui segue che,

$a^4+b^4>=a^3b$