Ordine di cicli disgiunti

[micheleolivo]

Ciao a tutti
Sto risolvendo un esercizio di Algebra dove, date due permutazioni $\sigma$ e $\tau$, devo calcolare tra le altre cose, gli ordini, e l'ordine di $(\sigma @ \tau)$ [che mi risulta 7], e fino a quì nessun problema.
Il mio problema è che mi viene chiesto se $(\sigma @ \tau)^-1005$ ha ordine 10.

Avrei la possibilità di calcolare l'ordine della permutazione "svolgendola" (scusate il termine ma non so come esprimermi), me non è questo che viene richiesto nell'esercizio.
Come posso fornire una soluzione?

[mistake89]

Si tratta di calcolare $((sigma \circ tau)^(-1005))^(10)$ e verificare se è la permutazione identica.

Ovviamente svolgere questo calcolo a mano non è possibile.

Sai però che la tua permutazione ha ordine $7$ quindi $(sigma \circ tau)^7=id$. E quindi anche $(sigma \circ tau)^(7n)=id$ con $n in ZZ$.
Quindi si tratta di capire a quanto è congruo $-1005$ modulo $7$. Ovvero ovvero scrivere $-1005$ nella forma $7k+r$. Risulterà allora $(sigma \circ tau)^(-1005)= (sigma \circ tau)^r$.
Ripeti lo stesso ragionamento per l'esponente $10$ e vedi un po' se riesci a risolvere

[micheleolivo]

Si, beh, con il termine svolgerla intendevo proprio come mi hai indicato tu, che mi risulta:
$(\sigma @ \tau)^-1005=(\sigma @ \tau)^(-144*7 + 3)$
quindi
$(\sigma @ \tau)^-1005=(\sigma @ \tau)^3$
Però, detto questo, come posso affermare se ha o non ha ordine $10$?

[EDIT] Ad esempio:
$(\sigma @ \tau)=(1)(2)(3 4 8 9 5 6 7)$
$o(\sigma @ \tau)=mcm(1, 7)=7$
Se è corretto poi ho:
$(\sigma @ \tau)^-1005=(\sigma @ \tau)^3=(1)(2)(3 8 5 7 4 9 6)$
Che ha sempre ordine $7$.

[mistake89]

Ma a noi in definitiva interessa calcolare $(sigma \circ tau)^(3*10)$. E questo sappiamo che è uguale a $(sigma \circ tau)^2$. Avendo ordine $7$ tale permutazione non sarà quella identica. Quindi no, non ha periodo $10$

[micheleolivo]

Scusa ma sono una zappa e continuo a non capire, anche perchè ad esempio in un'altro esercizio ho $o(\sigma @ \tau)=14$ (trovato durante lo svolgimento delle varie fasi dell'esercizio) e mi viene chiesto se $(\sigma @ \tau)^-174389$ ha ordine $12$.
Ricordo che per una risposta rapida, bastava controllare che $12$ dividesse qualcosa, ma non trovo riscontro da nessuna parte, chiedo aiuto perchè in sede d'esame lavorare con cifre tipo $-174389$ può generare errori (non avendo a disposizione una calcolatrice...).

[Martino]

Ciao

Scusa ma sono una zappa e continuo a non capire, anche perchè ad esempio in un'altro esercizio ho $o(\sigma @ \tau)=14$ (trovato durante lo svolgimento delle varie fasi dell'esercizio) e mi viene chiesto se $(\sigma @ \tau)^-174389$ ha ordine $12$.

Svolgimento 1 (il più semplice): dato che l'ordine di ogni potenza di \( \displaystyle \sigma \circ \tau \) divide l'ordine di \( \displaystyle \sigma \circ \tau \) (dato che detto \( \displaystyle n \) l'ordine di \( \displaystyle \sigma \circ \tau \) si ha \( \displaystyle ((\sigma \circ \tau)^k)^n = ((\sigma \circ \tau)^n)^k = 1^k = 1 \) ) e \( \displaystyle 12 \) non divide \( \displaystyle 14 \) , nessuna potenza di \( \displaystyle \sigma \circ \tau \) ha ordine \( \displaystyle 12 \) . I soli ordini possibili di una potenza di \( \displaystyle \sigma \circ \tau \) sono \( \displaystyle 1,2,7,14 \) (i divisori di \( \displaystyle 14 \) ).

Svolgimento 2 (il più generalizzabile): dato che \( \displaystyle \sigma \circ \tau \) ha ordine 14 puoi aggiungere o togliere all'esponente multipli di 14 senza alterare il risultato (per lo stesso motivo per esempio \( \displaystyle (\sigma \circ \tau)^{30} = (\sigma \circ \tau)^{28} (\sigma \circ \tau)^2 = (\sigma \circ \tau)^2 \) ). In questo modo rimpicciolisci l'esponente fino a farlo diventare comprensibile.

\( \displaystyle (\sigma \circ \tau)^{-174389} = (\sigma \circ \tau)^{-34389} \) (ho aggiunto \( \displaystyle 140000=14 \cdot 10000 \) )
\( \displaystyle = (\sigma \circ \tau)^{-6389} \) (ho aggiunto \( \displaystyle 28000 = 14 \cdot 2000 \) )
\( \displaystyle = (\sigma \circ \tau)^{611} \) (ho aggiunto \( \displaystyle 7000 = 14 \cdot 500 \) )
\( \displaystyle = (\sigma \circ \tau)^{-89} \) (ho tolto \( \displaystyle 700 = 14 \cdot 50 \) )
\( \displaystyle = (\sigma \circ \tau)^{-19} \) (ho aggiunto \( \displaystyle 70 = 14 \cdot 5 \) )
\( \displaystyle = (\sigma \circ \tau)^9 \) (ho aggiunto \( \displaystyle 28 = 14 \cdot 2 \) )

ha ordine \( \displaystyle 14 \) anche lui, dato che \( \displaystyle (9,14)=1 \) (il massimo comun divisore di \( \displaystyle 9 \) e \( \displaystyle 14 \) è \( \displaystyle 1 \) ).

Svolgimento 3 (il più generale): se hai un elemento \( \displaystyle g \) di ordine \( \displaystyle n \) di un gruppo \( \displaystyle G \) allora dato un intero positivo \( \displaystyle m \) ,

l'ordine di \( \displaystyle g^m \) è \( \displaystyle n/(n,m) \) (*)

dove \( \displaystyle (n,m) \) indica il massimo comun divisore di \( \displaystyle n \) e \( \displaystyle m \) (osserva che coerentemente con quanto detto nello svolgimento 1, \( \displaystyle n/(n,m) \) divide \( \displaystyle n \) ). [Nota: (*) non è difficile da dimostrare]. Quindi calcolare l'ordine di una potenza equivale a calcolare un massimo comun divisore, e questo lo fai per esempio coll'algoritmo di Euclide. Nel tuo caso siccome \( \displaystyle -174389 \) e \( \displaystyle 14 \) sono coprimi, \( \displaystyle (\sigma \circ \tau)^{-174389} \) ha ordine \( \displaystyle 14/1=14 \) .