Un esercizio divertente per sbrogliarsi un po' tra polinomi e funzioni polinomiali!
Mi è venuta voglia di proporlo nel rispondere qui.
Sia \( \displaystyle K \) un campo, e sia \( \displaystyle K[X] \) l'anello dei polinomi a coefficienti in \( \displaystyle K \) . Per ogni \( \displaystyle P(X) \in K[X] \) sia \( \displaystyle f_P:K \to K \) la funzione definita da \( \displaystyle f_P(a) := P(a) \) . \( \displaystyle f_P \) si dice "funzione polinomiale associata a \( \displaystyle P \) ". Sia \( \displaystyle F = K^K \) l'insieme delle funzioni \( \displaystyle K \to K \) , e consideriamo la funzione \( \displaystyle \varphi: K[X] \to F \) definita da \( \displaystyle \varphi(P(X)) := f_P \) . Mostrare che:
(1) \( \displaystyle \varphi \) è iniettiva se e solo se \( \displaystyle K \) è infinito;
(2) \( \displaystyle \varphi \) è suriettiva se e solo se \( \displaystyle K \) è finito.