"Costruire un polinomio (a coefficienti reali) $P(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$ verificante le proprietà:
a) $P(x,y)=0$ soltanto per $x=y=0$,
b) se $x$ e $y$ sono due numeri interi allora anche $P(x,y)$ è un intero.
Determinare poi il massimo della quantità $b^2-4ac$ al variare di P nell'insieme dei polinomi soddisfacenti le proprietà precedenti."
Allora, per imporre la proprietà a), ho pensato di considerare $ax^2+bxy+cy^2=0$ come un'equazione di secondo grado, ricavando prima $x$ e poi $y$ per imporre che non sia possibile trovare una $x$ che al variare di $y$ renda il polinomio nullo e viceversa una $y$ al variare della $x$. Cioè ottengo le due soluzioni
$x_(1,2)=(-by+-sqrt(b^2y^2-4acy^2))/(2a)$
$y_(1,2)=(-bx+-sqrt(b^2x^2-4acx^2))/(2a)$.
Per far sì che queste soluzioni non diano dei risultati reali di $x$ o $y$ (in tal caso sostituendo tali valori, che sono diversi da zero, al polinomio, esso si annullerebbe), impongo il delta minore di zero e cioè $b^2-4ac<0$.
Per imporre la proprietà b), suppongo che basti imporre che i coefficienti $a$, $b$, $c$ siano interi.
Con tali condizioni, scrivo ad esempio il polinomio $P(x,y)=x^2+xy+y^2$
Per determinare il massimo del delta ho molte difficoltà. Come ho detto prima, deve essere minore strettamente di zero, e quindi mi verrebbe da dire che non c'è un massimo di quella quantità ma solo un estremo superiore che è, appunto, zero.
Queste sono le mie ipotesi.
Grazie mille dell'aiuto.
