Formula calcolo rata

[tonic71]

Ciao a tutti.
Ho necessità di un vostro aiuto. Mi serve la formula matematica per il calcolo della rata di un finanziamento/mutuo con ammortamento alla francese.
Per aiutarmi nella comprensione della formula vi chiedo, gentilmente, di indicarmi la stessa e poi di riportare il calcolo tenendo in considerazione che:
Importo finanziamento: € 10.000,00
N° rate: 60
Frequenza rate: mensile
Tasso: 5%

Vi ringrazio anticipatamente.

tc

[Cheguevilla]

Partiamo dal concetto di ammortamento francese, quindi definiamo che le rate siano costanti.
Quindi, dobbiamo dividere il debito in $n$ rate in modo tale che la somma attualizzata delle rate alla loro scadenza corrisponda al valore attuale del capitale da ammortizzare.
Supponiamo unitario il capitale preso a prestito (nel tuo caso sono 10,000 €, ma lo vedremo dopo), $R$ il valore della rata, $i$ il tasso di interesse, $n$ il numero di rate, $t$ il periodo di scadenza della rata:
$1=sum_(t=1)^nR(1+i)^(-t)$ (1)
Considerando che R è costante:
$1/R=sum_(t=1)^n(1+i)^(-t)$
Si può notare che la sommatoria è una progressione geometrica con primo termine 1 e ragione $(1+i)^-1$.
La somma dei termini di una progressione geometrica (primo termine $a$, ragione $r$) si può calcolare come:
$asum_(i=0)^nr=a(1-r^(n+1))/(1-r)$
Nel nostro caso, la sommatoria parte da 1, poichè le rate sono posticipate (nell'istante 0 non avviene nessun pagamento).
Quindi:
$asum_(i=1)^nr=a(1-r^(n+1))/(1-r)-a$
$asum_(i=1)^nr=a((1-r^(n+1))/(1-r)-1)$ (2)
Applicando la formula (2) alla (1), risulta:
$1/R=(1-(1+i)^(-n-1))/(1-(1+i)^(-1))-1$
$1/R=(1-(1+i)^(-n-1))/(1-(1+i)^(-1))-(1-(1+i)^(-1))/(1-(1+i)^(-1))$
Svolgendo un po' di calcoli,
$1/R=((1+i)^(-1)-(1+i)^(-n-1))/(1-(1+i)^(-1))$
Moltiplicando entrambi i fattori del rapporto a destra per $(1+i)$, risulta:
$1/R=(1-(1+i)^(-n))/(1+i-1)$
Quindi:
$1/R=(1-(1+i)^(-n))/i$
La rata di un ammortamento di capitale unitario si calcola quindi come:
$R=i/(1-(1+i)^(-n))$
Se il prestito non è unitario, è sufficiente moltiplicare il valore ottenuto per l'ammontare totale del capitale da ammortizzare.
Supponendo di avere un capitale A da ammortizzare, la rata si calcola come:
$R=Ai/(1-(1+i)^(-n))$

Nel tuo caso, risulta:
$i=0.05/12=0.004167$
$R=10000*0.004167/(1-1.004167^(-60))

P.S.: La quantità $(1-(1+i)^(-n))/i$ è una quantità notevole, che troverai più volte in matematica finanziaria.
Si indica come $a_(n~|i)$
Essa rappresenta l'attualizzazione di ogni fattore di capitalizzazione al suo periodo corrispondente, considerate $n$ rate posticipate ad un certo tasso di interesse $i$ costante lungo tutta la durata dell'ammortamento.
Quindi, rappresenta il valore attuale di un capitale unitario che venga ammortizzato con rate, periodi e tasso di interesse costanti.
In generale, vale ricordare questa formula:
$A=Ra_(n~|i)$
Dove $a_(n~|i)=(1-(1+i)^(-n))/i$