Decomposizione primaria

[balestrav]

Ciao a tutti! Volevo chiedere se qualcuno poteva darmi qualche dritta su come comportarsi quando si deve trovare una decomposizione primaria. Ad esempio mi si chiede di trovare due decomposizioni primarie (diverse!) di \( \displaystyle I=(x^2y,xy^2) \subset \mathbb{C}[x,y] \) e di \( \displaystyle J=(xyz^2,xy^2)\mathbb{C}[x,y,z] \) . Io non so proprio da dove iniziare anche perchè nei due esempi in croce che abbiamo fatto in classe la decomposizione veniva buttata lì per magia!

[Martino]

\( \displaystyle I=(x^2y,xy^2) \subset \mathbb{C}[x,y] \)

Ricordando che ogni potenza di un ideale massimale è un ideale primario, e che ogni ideale primo è primario (leggi qui), a occhio mi sembra che \( \displaystyle (x^2y,xy^2) = (x,y)^3 \cap (x) \cap (y) \) . Dico, a occhio. Che ne pensi?

Comunque con queste due idee il compito dovrebbe risultarti meno arduo.

[balestrav]

Si, ho verificato quella decomposizione, è giusta grazie. Ma come hai fatto a trovarla a occhio? Ad esempio per trovarne un'altra so che i primi minimali sono indipendenti dalla decomposizione, ma come li riarrangio? L'unica cosa che mi viene in mente è di piazzare quà e là qualche potenza...

[Martino]

L'idea è trovare ideali primari che contengono \( \displaystyle I \) , e trovarne il più possibile. Cosicché \( \displaystyle I \) è contenuto nella loro intersezione. Per esempio nel caso sopra ho pensato alla terza potenza di \( \displaystyle (x,y) \) perché i due generatori esibiti di \( \displaystyle I \) hanno grado tre.

Una volta fatto questo, uno prova a dimostrare che questa intersezione è effettivamente uguale a \( \displaystyle I \) .

[maurer]

A livello teorico si può dire qualcosa di più, anche se purtroppo non è quasi mai possibile applicare la procedura che descriverò negli esercizi concreti.

Fissate un ideale \( \displaystyle I \) decomponibile in un anello \( \displaystyle A \) . Sappiamo che esiste solo un numero finito di primi minimali contenenti \( \displaystyle I \) . Sia \( \displaystyle \mathfrak p \) uno di essi, sia \( \displaystyle S_\mathfrak{p} = A \setminus \mathfrak p \) e denotiamo con \( \displaystyle S_\mathfrak{p}(I) \) la saturazione di \( \displaystyle I \) rispetto al sistema moltiplicativo \( \displaystyle S_\mathfrak{p} \) . Allora \( \displaystyle S_\mathfrak{p}(I) \) è la componente \( \displaystyle \mathfrak p \) -primaria di \( \displaystyle I \) .

Question (per balestrav): perché ho detto che \( \displaystyle S_\mathfrak{p}(I) \) è la componente \( \displaystyle \mathfrak p \) -primaria e non "una possibile componente \( \displaystyle \mathfrak p \) -primaria"?

[balestrav]

Cosa intendi con saturazione ? (Di sicuro centrerà col fatto che le componenti primarie isolate sono indipendenti dalla decomposizione...)

[maurer]

Sì, il motivo è esattamente quello, ossia il secondo teorema di unicità per la decomposizione primaria.

Se \( \displaystyle f \colon A \to B \) è un morfismo di anelli, la saturazione di un ideale \( \displaystyle I \) di A è \( \displaystyle I^{ec} \) , ossia la contrazione dell'estensione di I tramite f. Nel caso della localizzazione, la mappa è ovviamente la mappa canonica \( \displaystyle A \to S^{-1} A \) .