Preparandosi alla NORMALE

[Steven]

Proprio quello che intendevo io, anche se la tua soluzione risulta + ''elegante''.

Naa.
Tutto fumo e niente arrosto.
La seconda è più intuitiva, era la prima cosa a cui dovevo pensare.

[simo90]

$2a+3b\equiv0(mod11)$

scusate potreste spiegarmi cosa significa questa scrittura qui sopra? (me ignorante) GRAZIE

[G.D.]

$alpha equiv beta (mod gamma)$ significa che $alpha$ e $beta$ danno lo stesso resto nella divisone per $gamma$

[simo90]

quindi in questo caso vuol dire che $2a+3b$ diviso 11 dà come resto 0...ok credo di aver capito GRAZIE wizard

[angus89]

Ecco una nuova bestia!!! (anno accademico 1999/2000, quesito 1)

$a^3+2b^3+4c^3=8abc$

dimostrare che $a=b=c=0$
con $a,b,c$ razionali

Allora...voi divertitevi un pò e provate a risolverlo...qui di seguito propongo la mia soluzione(della quale ho dei seri dubbi)...voi postate pure le voste o correggete anche la mia...



LA MIA (POSSIBILE) SOLUZIONE
allora...se mi dice di dimostarere che $a=b=c=0$ vuol dire che non eistono altre soluzioni...
o per lo meno...probabilmente esistono ma osserviamo bene...dice "con $a,b,c$ razionali...
allora cominciamo a riflettere bene...
$a,b,c$ non possono essere irrazionali...

QUALCHE DEFINIZIONE(DA VERIFICARE)
1-Un numero irrazionale non può essere scritto come una frazione...
ad esempio $8$ non è irrazionale poiche $8=16/2$ oppure $7$ non è irrazionale poichè $7=7/1$...
invece $sqrt(2)!=a/b$ infatti è irrazionale...
2-Tutti i numeri che non sono quadrati perfetti hanno la radice quadrata irrazionale...
3-Tutti i numeri che non sono cubi perfetti hanno la radice cubica irrazionale...
4-Un numero irrazionale non è un numero razionale
5-Il prodotto di due o più numeri irrazionali è sempre un numero irrazionale a meno che il numero irrazionale non sia lo stesso(ovvero si considerano le potenze del numero irrazionale)...in tal caso è possibile(ma non certo) ottenere un numero razionale (es $sqrt(2)*sqrt(2)=2$ che equivale a $sqrt(2)^2=2$

in base a quanto affermato riprendo il problema
$a^3+2b^3+4c^3=8abc$

PASSAGGI ALGEBRICI(almeno quelli non credo siano da verificare )
$a=\root{3}{2}*\root{3}{4abc-b^3-2c^3}$
ovvero $a=\root{3}{2}*n_1$

$b=1/(\root{3}{2})*\root{3}{8abc-a^3-4c^3}$
ovvero $b=1/(\root{3}{2})*n_2$

$c=1/(\root{3}{4})*\root{3}{8abc-a^3-2b^3}$
ovvero $c=1/(\root{3}{4})*n_3$

RICAPITOLIAMO
$a=\root{3}{2}*n_1$[SPACE][SPACE]$b=1/(\root{3}{2})*n_2$ [SPACE][SPACE]$c=1/(\root{3}{4})*n_3$


Tutti questi numeri non sono altro che il prodotto di numeri irrazionali e numeri che potrebbero anche essere razionali ($n_n)
Quindi di per sè si potrebbe già considerare risolto il problema, a meno che non risulta essere in ogni caso $n_n$ uguale al numero irrazionale per il quale è moltiplicato...

Andando avanti analizioamo il prodotto di $a,b$ e $c$
$a*b*c=n_1*n_2*n_3*1/(\root{3}{4})$[SPACE]risultato ottenuto con con opportuni passaggi algebrici
quindi risulta che il prodotto è un numero irrazionale, quindi si ha un prodotto irrazionale solo se tra i numeri che si moltiplicano ce n'è almeno uno irrazionale...

spero che la mia dimostrazione sia almeno lontanamente sufficiente

fatemi sapere!

[fu^2]

nn mi pare sbagliata la tua soluzione...

propongo la mia, che non si dissocia troppo

$a^3+2b^3+4c^3=8abc$
si nota che una soluzione banale è $a=b=c=0$.
Dimostriamo che è l'unica $inQQ$


chiamiamo $a=k/h$, $b=w/v$ e $c=m/n$ in quanto son coefficienti razionali.

si ha quindi $(k/h)^3+2(w/v)^3+4(m/n)^3=8(kwm)/(hvn)$

poniamo quindi $a,b,c!=0$ in quanto abbiamo già trovato quella soluzione e divertiamoci a girare i coefficenti

otteniamo quindi $(k^2vn)/(h^2wm)+2(w^2hn)/(v^2km)+4(m^2kw)/(n^2hv)=8

$(kvn)/(hwm)(k/h+2w/v+4m/n)=8

riscrivendo i coefficienti a,b,c per capire meglio i calcoli otteniamo

$abc(a+2b+4c)=8

quindi

$a^2bc+2b^2ac+4c^2ab-8=0$

notare che tutti i coefficienti hanno la stessa struttura (cioè un quadrato e gli altri due coefficienti) quindi mostriamo il caso per $a$ e analogamente è lo stesso per tutti gli altri 2.

studiamo il discriminante dell'equazione di secondo grado secondo la variabile a: $a^2bc+2a(b^2c+2c^2b)-8=0$

$Delta=(b^2c+2c^2b)^2+8bc=b^4c^2+4c^4b^2+4b^3c^3+8bc=cb(cb^3+4c^b+4b^2c^2+8)$

notiamo che quello che abbiamo ottenuto non è mai un quadrato perfetto, quindi $sqrt(Delta)!inQQ$.

quindi $a_(1,2)=(k+-sqrt(Delta))/h$ che sarà sempre un numero irrazionale.

allo stesso modo si dimostra che anche le soluzioni secondo b e c danno sempre numeri irrazionali, da questo deriva la ts che l'unica soluzione in $QQ$ è data da $a=b=c=0$

è simile alla tua alla fine...

[angus89]

la mia potrebbe anche andare bene...ma ha parecchi punti deboli...la tua invece è più precisa...bella soluzione!
naturalmente si accettano sempre correzzioni e altre soluzioni

[Mega-X]

https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 547#161547

cliccate qui per il post di angus, non ho messo tutto il testo per motivi si spazio..

rievoco questo post dall'oltretomba per dare una mia opnione e risoluzione..

secondo me il problema dice che bisogna esplicitare la $x$ e la $y$ con quelle relazioni che ci ha dato, ovvero che se i cateti diminuiscono di $k$ l'area diminuisce di $m^2$ (a proposito, $m^2$ è, a mio avviso, solo un quadrato perfetto, niente di più..)

dunque partendo da dove è arrivato angus89 (ho aggiustato un pochino) abbiamo che ${(x>y),(d = x-y),(m^2 = k/2(2y+d-k)):}$ con $d$ e $k$ noti (lo scegliamo noi il numero con cui far diminuire i cateti)

però messo così il sistema non è risolvibile perchè manca il termine $x$, sapendo però che siamo in un triangolo rettangolo allora la somma dei cateti al quadrato è uguale all'ipotenusa al quadrato dunque $x^2 + y^2 = c^2 => (y+d)^2 + y^2 = c^2 => c = sqrt(2y^2 + 2dy + d^2)$, ora per trovare la $x$ non dobbiamo far altro che calcolarcela come $x = csinphi$ dove $phi = arctg(x/y) = arctg((y+d)/y)$ dunque $x = sin(arctg((y+d)/y))sqrt(2y^2 + 2dy + d^2)$

dunque il sistema finale è (a meno di errori) ${(x>y),(d = x-y),(m^2 = k/2(2y+d-k)),(x = sin(arctg((y+d)/y))sqrt(2y^2 + 2dy + d^2)):}$

Come sono andato questa volta?

[spiritcrusher]

notiamo che quello che abbiamo ottenuto non è mai un quadrato perfetto

Una curiosità...perchè non è mai un quadrato perfetto?

[spiritcrusher]

Il prodotto di due o più numeri irrazionali è sempre un numero irrazionale a meno che il numero irrazionale non sia lo stesso(ovvero si considerano le potenze del numero irrazionale)...in tal caso è possibile(ma non certo) ottenere un numero razionale

Non sono convinto nemmeno su questo....per esempio $(6*sqrt(2))*sqrt(2)$ oppure $sqrt(2)*(0,3/sqrt(2))$ ...non sono lo stesso numero irrazionale ma ne danno uno razionale.


[/quote]