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Vediamo se ho dimenticato qualke terna o se ci sono riuscito ad ammazzarlo del tutto questo problemino....
Per Iniziare
-Se $(x;y;z)$ è una soluzione lo sono anche le sue permutazioni.
-Prenderemo in seguito, senza perdere di generalità $x\geq y\geq z\geq 0$.
-Tre soluzioni immediate sono $(1;1;0)$, $(2;2;1)$ e $(3;3;2)$. Soluzioni meno immediate sono $(4;3;1)$ e $(5;4;2)$.
Dividiamo il problema in casi più semplici:
Caso 1: $x=y=z$
L'espressione in questo caso diventa:
$3\cdot 4^x=n^2$
Ma ovviamente nessuna potenza di 4 è divisibile per tre e quindi in LHS c'è il fattore 3 con esponente sicuramente dispari, il che è impossibile per un quadrato.
Caso 2: $x=y\ne z$
L'espressione diventa:
$2\cdot4^x+4^z=4^z(2^{2x-2z+1}+1)=n^2$
Da cui si ricava, ponendo per comodità $2x-2z+1=2m+1$, che:
$2\cdot 4^m=(k-1)(k+1)$
Con $k$ evidentemente dispari. Quindi si avrà che solo uno dei due fattori di RHS sarà divisibile per 4 e l'altro per 2, ossia:
$k-1=2$ e $k+1=4^m$
Quindi necessariamente $m=1$ e $x=y=z+1$. Questa famiglia di soluzioni comprende anche le soluzioni immediate di cui sopra.
Quindi la terna $(z+1;z+1;z)$ e le sue permutazioni rappresentano infinite soluzioni, ecco quindi la risposta alla prima domanda.
Caso 3: $x\ne y\ne z$
Per quanto posto nelle condizioni preliminari possiamo raccogliere un fattore:
$4^z\cdot(4^{x-z}+4^{y-z}+1)=n^2$
Da cui si ricava che:
$4^q\cdot(4^p+1)=k^2-1=(k-1)\cdot(k+1)$
Dove si è posto per comodità $q=y-z$ e $p=x-y$. Considerando ques'ultima equazione $mod(3)$ e $mod(4)$ si ricava che $k$ deve essere un multiplo di $3$ dispari. Questo ci indica come sopra che solo uno dei due fattori di RHS sarà divisibile per $4$ ma ora non abbiamo un fattore 2 in LHS, necessariamente dobbiamo avere quindi il fattore 2 con esponente pari anche in RHS. Questo si ottine se il fattore di RHS divisibile per 4 è una potenza di due con esponente dispari e maggiore di due.
Formalizzando si avrà che $k=2\cdot 4^m \pm 1$, ma per le condizioni poste su $k$ il segno meno va scartato. Andando a sostituire abbiamo quindi che:
$4^{q+p}+4^q+1=(2\cdot 4^m + 1)^2=4^{2m+1}+4^{m+1}+1$
Per il principio di identità dei polinomi si ricava che $p+q=2m+1$ e $q=m+1$. Ritornando alle varibili del testo, $x=z + 2m+1$ e $y=z+m+1$.
Quindi tutte le terne della forma $(z+2m+1;z+m+1;z)$ con le rispettive permutazioni sono soluzioni della diofantea al variare di $m\in NN$.
Queste terne unite a quelle del caso 2 danno tutte le soluzioni intere non negative della diofneta data.
La soluzione è un po lunga ma mi sembra corretta e non usa nulla di speciale, solo qualke idea carina...ditemi voi se c'è qualke errore o altro....
