Preparandosi alla NORMALE

[fu^2]

la mia soluzione è molto (anzi direi uguale) simile a quella di Laura.

infatti anche io ho ragionato così

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$n+53=p^2
$n-52=q^2

si ha che $p^2-q^2=n+53-n+52=105
quindi scomponendo si ottiene $(p-q)(p+q)=105
si sa che $105=1*3*5*7
quindi
$105=1*105
$105=3*35
$105=5*21
$105=7*15

quindi i sistemi da risolvere sono quattro
${(p-q=1),(p+q=105):}
${(p-q=3),(p+q=35):}
${(p-q=5),(p+q=21):}
${(p-q=7),(p+q=15):}

e quindi quattro saranno le soluoni, dando per scontato che i sistemi sono determinati.

il problema è che i calcoli sono tanti e lunghi... speravo di trovare una soluzione meno "calcolosa" va beh...

edit: klarence leggendo la tua ultima frase sembra che hai trovato modo di fare i calcoli in modo veloce, sbaglio? nel caso come hai fatto?

ps bella la tua soluzione!

I sistemi non li devi risolvere completamente, ti basta sommare le 2 equazioni e trovare solo p o solo q; di conseguenza ricavi n.
P.S. si vede che i sistemi sono determinati.

giusto!

[klarence]

Tratto dal test della normale di quest'anno:
-posto che $2a+3b$ è divisibile per $11$, mostrare che $a^2-5b^2$ è divisibile per $11$

p.s. importantissimo: $a$ e $b$ sono numeri interi

[Steven]

Si ha per ipotesi
$2a+3b\equiv0(mod11)$
Per ovvi motivi risulterà vera anche
$(2a+3b)(2a-3b)\equiv0(mod11)$
Sviluppando
$4a^2-9b^2\equiv0(mod11)$
Moltiplichiamo per tre
$12a^2-27b^2\equiv0(mod11)$ (1)
e poichè è sicuramente vera
$11a^2-22b^2\equiv0(mod11)$ (2)
Possiamo sottrarre la (1) con la (2) e ottenere la tesi
$a^2-5b^2\equiv0(mod11)$

[klarence]

Si ha per ipotesi
$2a+3b\equiv0(mod11)$
Per ovvi motivi risulterà vera anche
$(2a+3b)(2a-3b)\equiv0(mod11)$
Sviluppando
$4a^2-9b^2\equiv0(mod11)$
Moltiplichiamo per tre
$12a^2-27b^2\equiv0(mod11)$ (1)
e poichè è sicuramente vera
$11a^2-22b^2\equiv0(mod11)$ (2)
Possiamo sottrarre la (1) con la (2) e ottenere la tesi
$a^2-5b^2\equiv0(mod11)$

Penso vada bene, ma c'è anche un'altra strada completamente diversa.

[Steven]

Puoi dirmi almeno la tipologia?
Cosa sfrutta? criteri di divisibilità, algebra, ecc...

ps: era un problema a se stante, o un "sotto problema"? Dimmi anche che numero era

[klarence]

Puoi dirmi almeno la tipologia?
Cosa sfrutta? criteri di divisibilità, algebra, ecc...

ps: era un problema a se stante, o un "sotto problema"? Dimmi anche che numero era

Le domande che mi hai fatto a cosa si riferiscono?

Il problema che ho proposto era l'ultimo, il numero 5, ed era un problema a se stante.

[Steven]

Mi riferisco alla soluzione alternativa a cui alludevi.
Su cosa si fonda?

Mi pare di aver capito che sei andato a Pisa. Come ti è andata?

[klarence]

Mi riferisco alla soluzione alternativa a cui alludevi.
Su cosa si fonda?

Mi pare di aver capito che sei andato a Pisa. Come ti è andata?

Diciamo che sfrutta per lo più l'algebra (pensa alle scomposizioni).
Però anzichè partire dalla relazione certa , cioè $2a+3b$ , parti da $a^2-5b^2$ e dimostra, sfruttando la prima relazione, che il numero che verrà deve essere necessariamente divisibile per 11.

p.s. si sono andato a Pisa. Matematica penso sia andata bene, ma Fisica è stata un disastro (vorrei vedere la faccia che il professore farà quando leggerà il mio compito...) .

p.p.s. rileggi il mio primo post, quello della traccia, ho aggiunto una ipotesi importante.

[Steven]

Da
$2a+3b=11k$
discende
$a=frac{11k-3b}{2}$
Pertanto risulta
$a^2-5b^2=frac{(11k-3b)^2}{4}-5b^2=frac{121k^2+9b^2-66bk}{4}-5b^2=frac{121k^2+9b^2-66bk-20b^2}{4}=11cdotfrac{11k^2-b^2-6bk}{4}$

[klarence]

Da
$2a+3b=11k$
discende
$a=frac{11k-3b}{2}$
Pertanto risulta
$a^2-5b^2=frac{(11k-3b)^2}{4}-5b^2=frac{121k^2+9b^2-66bk}{4}-5b^2=frac{121k^2+9b^2-66bk-20b^2}{4}=11cdotfrac{11k^2-b^2-6bk}{4}$

Proprio quello che intendevo io, anche se la tua soluzione risulta + ''elegante''.