Problema (apparentemente?) facile sns 2007-2008

[domx]

Ciao a tutti, tra i test degli anni passati della normale di pisa ce n'è uno che mi ha stupito per la semplicità, sicuramente solo apparente. È il nmero 5 del 2007-2008. Ve lo posto:

Nella piana di Giza vi sono due piccole piramidi regolari a base quadrata, che si toccano in un vertice C e hanno i lati di base paralleli, come nella pianta e nella prospettiva qui sotto:

Un turista stanco si e arrampicato sulla cima V della prima piramide, e ora vorrebbe spostarsi sulla cima W della seconda piramide: si chiede quale sia il percorso più corto. Sapete aiutarlo?

Così, a prima vista, mi verrebbe da dire V-C C-W, ma sono sicuro che non può essere, sarebbe troppo banale. Eppure sembra palese la cosa...
voi che ne pensate?
Ciao e grazie in anticipo.

[@melia]

Prova a calcolare la distanza VCW e la distanza se scendesse lungo l'atezza del triangolo VCB e risalisse lungo l'altezza del triangolo WCD. A me le due distanze vengono uguali.

[domx]

Prova a calcolare la distanza VCW e la distanza se scendesse lungo l'atezza del triangolo VCB e risalisse lungo l'altezza del triangolo WCD. A me le due distanze vengono uguali.

sì, ed in più poi dovrebbe anche fare la strada per andare da un triangolo all'altro...

[@melia]

Non hai capito, se scende lungo le altezze dei triangolo e a queste si aggiunge la strada che deve percorrere da un triangolo all'altro si ottiene la stessa distanza che si ottiene sommando i due spigoli.

[domx]

beh, il lato del triangolo iscoscele è un po' più lungo della sua altezza, però devi considerare che se scende lungo l'altezza, poi non si trova l'altra piramide immediatamente davanti, e deve fare un po' di strada per raggiungerla...

[@melia]

Non andare ad impressioni, fatti un po' di conti. Se chiami $l$ e $h$ il lato e l'altezza di una piramide, $m$ e $k$ quelli dell'altra e ti fai un po' di conti vedi che la distanza è la stessa. Si tratta di controllare se i percorsi intermedi hanno distanza minore.

[Gaussman]

a me non vengono uguali...
@domx: il percorso che dici tu non è sempre il migliore...un consiglio: niente conti o cose strane, il problema è molto più semplice

[giammaria]

Prova a calcolare la distanza VCW e la distanza se scendesse lungo l'altezza del triangolo VCB e risalisse lungo l'altezza del triangolo WCD. A me le due distanze vengono uguali.

A me vengono diverse. Ho indicato con l'indice 1 ciò che si riferisce alla piramide di vertice V e con l'indice 2 l'altra, con $2l$ gli spigoli di base, con $a$ gli apotemi delle facce laterali e con $x$ le distanze da C dei punti in cui si arriva a terra. La strada complessiva è
$s=sqrt(a_1^2+(l_1-x_1)^2)+sqrt(x_1^2+x_2^2)+ sqrt(a_2^2+(l_2-x_2)^2)$
Il percorso VCW corrisponde a $x_1=x_2=0$ e la strada lungo le altezze corrisponde a $x_i=l_i$: si vede subito che si hanno formule diverse.
La mia soluzione, di cui però non ho certezza, è questa: la formula che ho scritto vale anche se il tutto è su un piano orizzontale e i vertici sono sul prolungamento del disegno fatto per gli apotemi (oltre V e W), nei punti V' e W', distanti dai lati quanto l'apotema. La via più breve è quindi il segmento V'W', che però non interseca i lati considerati: forse si possono considerare quelli adiacenti?

[giammaria]

... che però non interseca i lati considerati: forse si possono considerare quelli adiacenti?

Ci ho ripensato: no, non si possono considerare i lati adiacenti perché questo comporterebbe rifare i calcoli considerando questi e giungendo allo stesso risultato finale. Con il vincolo che $x_1, x_2$ non siano negativi, la più breve strada possibile è V'CW', cioè, nella realtà, VCW. Gaussman, dici che non sempre è così: vuoi spiegarti meglio?

[Gaussman]

scusa, ho commesso un errore:
porto il problema sul piano costruendo un rettangolo di lati CB e CD e su due lati adiacenti costruisco i triangoli isosceli WCD e VCB.
Ora è facile dimostrare che se l'angolo WCD+l'angolo BCV è maggiore o uguale di 90 allora WCV è il percorso minimo.
se la somma dei due angoli è minore di 90 allora il percorso minimo è un altro, ma è qui che sbagliavo:
visto che i due triangoli isosceli che ho costruito sono le facce laterali di una piramide, questo non si verifica mai perchè l'angolo $WCD\ge 45$ e lo stesso vale per l'angolo VCB.
Quindi il percorso minimo in effetti è sempre WCV (o almeno cosi mi sembra)