Vuol dire che esistono dei gruppi "modello" ai quali potersi ricondurre. Ricondursi mediante isomorfismo ad un gruppo modello (già studiato) equivale a sapere tutto del gruppo considerato, in quanto l'isomorfismo "copia" le proprietà.
Considera che un gruppo è un insieme (quindi dentro ci potresti mettere tutto quello che vuoi). Quindi potresti definire un gruppo con l'identita, la sedia, il tavolo e lo sgabello. Imponi che sia abeliano e che sedia*tavolo=sgabello, sgabello*sedia=tavolo, tavolo*sgabello=sedia e che ognuno di loro sia inverso di loro stessi.
Abbiamo un gruppo. E alla fine scopri che questo gruppo è isomorfo a $ZZ_2 \times ZZ_2$.
Non so se sono riuscito a spiegarmi però
Quanto al tuo secondo quesito credo che la risposta non sia affatto semplice. Per i gruppi abeliani è molto semplice, per quelli non abeliano è decisamente difficile invece.