"Sia $AOB$ un angolo di $120°$, $P$ e $Q$ punti ad esso interni. Trovare un punto $M$ sulla semiretta $OA$ e un punto $N$ sulla semiretta $OB$ tali che sia minima la somma $PM+MN+NQ$."
Io l'ho risolto provando a ricondurlo al problema di Eulero.
Traccio il simmetrico di $P$ rispetto ad $AO$ e il simmetrico di $Q$ rispetto a $OB$ e li chiamo $P'$ e $Q'$. Avrò due casi:
a) Se il segmento $P'Q'$ interseca $AOB$, allora i punti di intersezione sono gli $M$ e $N$ cercati. Infatti, $PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ'$, che è una retta ed è quindi la distanza minore fra $P'$ e $Q'$.
b) Se il segmento $P'Q'$ non interseca $AOB$, allora unisco P' con Q e Q' con P e le intersezioni con $AOB$ sono gli $M$ e $N$ cercati. Infatti, per il problema di Eulero, in questo modo sono minime le somme $PM+MQ=P'M+MQ$ e $QN+PN=Q'N+PN$. Considerando che $PM+PN$ e $QN+QM$ sono le somme dei due lati oltre ad $MN$ nei triangoli $PMN$ e $QMN$, allora tutta la somma $PM+MN+NQ$ sarà minima.
Sono molto incerta, perché come potete vedere non è una dimostrazione ma solo quello che mi sembra possibile.. In particolare ho dubbi sul secondo punto e mi chiedo a cosa serva la misura dell'angolo $AOB$ (anche se dalla misura dell'angolo e dalla distanza dei punti dalle semirette dell'angolo posso calcolare i valori per cui capita il primo caso o il secondo caso).
Grazie dell'aiuto.