Relazioni d'ordine

[Gatto89]

Esercizi vari sulle relazioni d'ordine, mi è rimasto un dubbio:

Nelle relazioni (eventuali) d'ordine in $R$:

$xy \geq 1$ e

$x^2 \geq y^2$

$cos(xy) \geq 0$

$e^{x} \geq e^{2y}$

Premesso che alcune non sono d'ordine a prescindere, ma vorrei sapere comunque nel calcolo dell'asimmetria se la tesi da dimostrare è sempre $x = y$ o varia di caso in caso (e nel secondo caso, qual'è per esempio nella 3 e nella 4)

Danke ^_^

[Martino]

vorrei sapere comunque nel calcolo dell'asimmetria se la tesi da dimostrare è sempre $x = y$ o varia di caso in caso

Non varia, è sempre quella.

[Gatto89]

Quindi (faccio un esempio): per l'asimmetria di $e^{x} \geq e^{2y}$

$e^{x} \geq e^{2y},$ $e^{2y} \geq e^{x} -> x = y$ (che è falso)?

[Martino]

Quindi (faccio un esempio): per l'asimmetria di $e^{x} \geq e^{2y}$

$e^{x} \geq e^{2y},$ $e^{2y} \geq e^{x} -> x = y$ (che è falso)?

Esatto. Quindi quella relazione non è antisimmetrica.

[adaBTTLS]

casomai $e^x=e^2y$...
però, per interpretare la tua prima domanda, si conclude con un'uguagliaglianza nel caso di relazione d'ordine in senso lato.
se si tratta di relazione d'ordine in senso stretto, l'antisimmetria non si può definire nello stesso modo.
ciao.

[adaBTTLS]

... pardon, aveva risposto Martino... e probabilmente io non avevo capito la domanda!
ciao.

[Martino]

se si tratta di relazione d'ordine in senso stretto, l'antisimmetria non si può definire nello stesso modo.

Perché no? Una relazione d'ordine stretto è antisimmetrica esattamente come lo è una relazione d'ordine largo, no? Quello che viene mancare nell'ordine stretto è la riflessività.

[adaBTTLS]

in senso stretto non si può dire che "<" (relazione d'ordine stretto in un insieme A) è antisimmetrica se $AA x, y in A, {(x<y)^^(y<x)}=>(x=y)$

[Martino]

in senso stretto non si può dire che "<" (relazione d'ordine stretto in un insieme A) è antisimmetrica se $AA x, y in A, {(x<y)^^(y<x)}=>(x=y)$

Come no? Certo che si può.

Se hai una relazione d'ordine stretto e due elementi $a,b$ tali che $a<b$ e $b<a$ allora certamente $a=b$.

[adaBTTLS]

nel senso che ammetti la scrittura $a<a$ oppure perché usi la antiriflessività?

apro una breve parentesi che potrebbe comunque essere utile a Gatto89: ricordiamo che una relazione d'ordine deve essere o riflessiva (se in senso lato) o antiriflessiva (se in senso stretto). ma ci sono tante relazioni che sono "antisimmetriche" e transitive ma non sono d'ordine perché non sono né riflessive né antiriflessive.

ho messo quell'antisimmetriche tra virgolette per indicare in maniera generica l'antisimmetria in entrambi i sensi: cioè se $x != y$ e $x<y$ allora $not(y < x)$