Risoluzione integrale?

Messaggioda Demostene92 » 26/04/2011, 12:58

$ int sinx/sqrt(1-cosx) dx $
Devo risolverlo con il metodo della sostituzione e il libro dice di porre $t = 1 - cosx$
Non ne vengo a capo, non riesco nemmeno a calcolare il differenziale $dt$
Help please :shock:
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Messaggioda Gi8 » 26/04/2011, 13:01

Beh, $dt=d(1-cosx)=sinx dx$
quindi hai $int 1/sqrtt dt
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Messaggioda Demostene92 » 26/04/2011, 13:12

Io sapevo che il differenziale $dx$ è uguale al prodotto $f'(t) * dt$ e quindi per trasformarlo in differenziale $dt$ bisogna isolare la x e fare la derivata di x in funzione di t.. Però non capisco xD
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Messaggioda Gi8 » 26/04/2011, 13:17

Puoi anche ribaltare il ragionamento: $dt=(dt/dx) dx$.
$dt/dx$ è la derivata di $1-cos(x)$
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Messaggioda Demostene92 » 26/04/2011, 13:20

ma così avrei un integrale a due incognite.. Una x e una t..
Potresti farmi l'integrale passo passo? Scusa ma veramente non ci capisco..
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Messaggioda Gi8 » 26/04/2011, 14:48

E' stata fatta semplicemente una sostituzione per rendere più comodo lo svolgimento dell'integrale:
Ponendo $t=1-cosx$ l'integrale $int sinx/sqrt(1-cosx) dx$ diventa $int 1/sqrtt dt=int t^(-1/2)dt$
Quanto fa? Sappiamo che $AA alpha != -1$, $int t^alpha dt= 1/(alpha+1)*t^(alpha+1)+c$, con $c in RR$
Dunque il risultato è $1/(-1/2 +1) * t^(-1/2+1)+c =2*t^(1/2)+c=2*sqrtt +c$

Ma noi vogliamo il risultato con la $x$. Per averlo è sufficiente ricordare che $t=1-cosx$
La soluzione è dunque $2*sqrt(1-cosx) +c$, con $c in RR$
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