Problema (Concorso di ammissione SISSA). Sia $P\in C^1(\RR, \RR)$ e tale che $P(x)>e^x$, per ogni $x\in[0,\infty)$ e sia $y(x)$ la soluzione del problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
y'+P(x)y = e^x \\
y(0)=1
\end{cases}
\]
Mostrare che $y(x)<1$ per ogni $x>0$.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Che la soluzione sia prolungabile per tutti gli $x>0$ non v'è dubbio, essendo il problema lineare. Notiamo poi che \( y'(0)=-P(0)+e^0 < -e^0+e^0=0\) per l'ipotesi su \( P \). Per continuità (non è difficile convincersi che la soluzione è $C^1$, anzi addirittura $C^infty$) esiste un $\delta_1>0$ tale che \( y'(t)< 0 \) per ogni \( t \in (0,\delta_1) \) da cui $y(t)<1$ per ogni $t \in (0,\delta_1)$ (insomma, quello che voglio dire è che $y$ parte da $1$ decrescendo).
Per assurdo, supponiamo che \( A:= \{ t > 0: y(t)=1 \} \ne \emptyset \). Sia $\overline{t} = \min A$ (sicuramente c'è l'inf, visto che A è inferiormente limitato; che sia un min ho qualche dubbio ma penso che $A$ sia chiuso quindi...).
Allora per analoghi a sopra si ha che \(y'(\overline{t})<0\) e di nuovo per continuità esiste \(\delta_2>0\) tale che \(y'(t)<0\) per $t \in (\overline{t}-\delta_2, \overline{t}+delta_2)$: in particolare, $y(t)>1$ per $t \in (\overline{t}-delta_2, \overline{t})$.
Ma allora per il Teorema degli Zeri, deve esistere un $s \in (0, \overline{t}-\delta_2)$ tale che $y(s)=1$ e ciò contraddice la minimalità di $overline{t}$.
Ne segue che $y(t) \ne 1$ per ogni $t>0$, da cui la tesi.
Per assurdo, supponiamo che \( A:= \{ t > 0: y(t)=1 \} \ne \emptyset \). Sia $\overline{t} = \min A$ (sicuramente c'è l'inf, visto che A è inferiormente limitato; che sia un min ho qualche dubbio ma penso che $A$ sia chiuso quindi...).
Allora per analoghi a sopra si ha che \(y'(\overline{t})<0\) e di nuovo per continuità esiste \(\delta_2>0\) tale che \(y'(t)<0\) per $t \in (\overline{t}-\delta_2, \overline{t}+delta_2)$: in particolare, $y(t)>1$ per $t \in (\overline{t}-delta_2, \overline{t})$.
Ma allora per il Teorema degli Zeri, deve esistere un $s \in (0, \overline{t}-\delta_2)$ tale che $y(s)=1$ e ciò contraddice la minimalità di $overline{t}$.
Ne segue che $y(t) \ne 1$ per ogni $t>0$, da cui la tesi.
Che dite? L'ho fatta troppo complicata?
Mi sa di sì... Grazie.
P.S. Ho trovato una soluzione in un vecchissimo topic di Valerio, ma non mi andava di riesumare una roba di sei anni fa per chiedere conferme sulla mia soluzione...
