SNS 2006/2007 [biologi e chimici]

[Steven]

Posto questo problema articolato in due punti, di cui ho abbozzato una mezza risoluzione, per vedere come lo risolvereste voi.

i)Sono dati tre valori $a,b,c inZZ$ tali che
$a+sqrt2b+sqrt3c=0$
Dimostrare che deve per forza essere $a=b=c=0$
(In caso, possiamo assumere che la radice quadrata di 2, di 3 e di 6 è irrazionale, senza doverlo dimostrare).

ii)Determinare almeno una terna di interi relativi non tutti nulli tali che
$a+sqrt2b+sqrt8c=0$
Dimostrare che ogni altra terna $a'$, $b'$, $c'$ con la stessa proprietà è un multiplo razionale della precedente.

Non sono troppo difficili, se la mia idea è stata giusta.
Buon lavoro.

[Gabriel]

i) Se $bc \ne 0$, allora $2bc \sqrt{6} = a^2 - (2b^2 + 3c^2)$, i.e. $\sqrt{6}$ è razionale. Assurdo! Dunque $b = 0$ oppure $c = 0$. Nel primo caso, $a + \sqrt{3} c = 0$, e quindi a forza $a = c = 0$, salvo che negare l'irrazionalità di $\sqrt{3}$. Idem con patate, quando $c = 0$. Perciò $b = c = 0$. E allora anche $a = 0$.

ii) Vale $a+\sqrt{2} b + \sqrt{8} c = 0$ sse $a + sqrt{2}(b+2c)$. Pertanto $b+2c = 0$, i.e. $b = -2c$, visto che altrimenti $\sqrt{2}$ risulta razionale. Da qui, anche $a = 0$. Allora ogni terna $(a,b,c) \in \mathbb{Z}^3$ per cui $a+\sqrt{2} b + \sqrt{8} c = 0$ è necessariamente della forma $(0,-2c,c)$, i.e. è un multiplo intero qualunque della terna base $(0,-2,1)$.

[Steven]

Ok, la strada era quella

Una cosa: cosa si intende quando si dice "multiplo razionale", secondo voi?

[Gabriel]

S'intende che, se $(a,b,c) \in \mathbb{Q}^3$ e $a+b\sqrt{2} + c\sqrt{8} = 0$, allora esiste $q \in \mathbb{Q}$ tale che $(a,b,c) = q \cdot (0,-2,1)$. Il che pare evidente, almeno a questo punto.

[NoRe]

i) Se $bc \ne 0$, allora $2bc \sqrt{6} = a^2 - (2b^2 + 3c^2)$, i.e. $\sqrt{6}$ è razionale. Assurdo! Dunque $b = 0$ oppure $c = 0$. Nel primo caso, $a + \sqrt{3} c = 0$, e quindi a forza $a = c = 0$, salvo che negare l'irrazionalità di $\sqrt{3}$. Idem con patate, quando $c = 0$. Perciò $b = c = 0$. E allora anche $a = 0$.

ii) Vale $a+\sqrt{2} b + \sqrt{8} c = 0$ sse $a + sqrt{2}(b+2c)$. Pertanto $b+2c = 0$, i.e. $b = -2c$, visto che altrimenti $\sqrt{2}$ risulta razionale. Da qui, anche $a = 0$. Allora ogni terna $(a,b,c) \in \mathbb{Z}^3$ per cui $a+\sqrt{2} b + \sqrt{8} c = 0$ è necessariamente della forma $(0,-2c,c)$, i.e. è un multiplo intero qualunque della terna base $(0,-2,1)$.

resuscito questo lontano thread... Qualcuno mi può spiegare perchè dalla prima relazione che deriva dalla prima SI Ricava che $sqrt6$ è razionale?

Perchè essendo il secondo membro dato dalla somma di quadrati di numeri razionali è ancora un numero razionale mentre il primo membro è per ogni coppia $bc \ne 0$ un numero irrazionale?
sono alle prime armu quindi perdonatemi se sono a volte banale.

Il resto del ragionamento l'ho capito

[Seneca]

Perchè essendo il secondo membro dato dalla somma di quadrati di numeri razionali è ancora un numero razionale mentre il primo membro è per ogni coppia $bc \ne 0$ un numero irrazionale?

Esatto. Oppure, facendo un passaggio ulteriore, puoi dividere ambo i membri per $bc$ e ottenere a secondo membro un numero comunque razionale, mentre al primo membro avresti $sqrt(6)$.

[Ununquadio]

Comunque non vedo l'utilità di far risolvere questi test a biologi e chimici